質量 $m$ の物体に重力 $F_y = -mg$ が働いている。時刻 $t=0$ で、物体の位置は $y=8$ であり、静止している。以下の問いに答えよ。 (1) この物体の $y$ 軸方向の運動方程式を書け。 (2) この物体の任意の時間 $t$ における加速度 $a_y$ を求めよ。 (3) この物体の任意の時間 $t$ における速度 $v_y$ を求めよ。 (4) この物体の任意の時間 $t$ における位置 $y$ を求めよ。 (5) この物体が地面に到着する（$y=0$ となる）時間 $t$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体に重力 $F_y = -mg$ が働いている。時刻 $t=0$ で、物体の位置は $y=8$ であり、静止している。以下の問いに答えよ。

(1) この物体の $y$ 軸方向の運動方程式を書け。

(2) この物体の任意の時間 $t$ における加速度 $a_y$ を求めよ。

(3) この物体の任意の時間 $t$ における速度 $v_y$ を求めよ。

(4) この物体の任意の時間 $t$ における位置 $y$ を求めよ。

(5) この物体が地面に到着する（$y=0$ となる）時間 $t$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式:

ニュートンの運動方程式は $F = ma$ で表される。この問題では、$y$ 軸方向の力は重力のみなので、運動方程式は次のようになる。

$ma_y = -mg$

(2) 加速度 $a_y$:

(1) の運動方程式から、加速度 $a_y$ を求める。

$a_y = -g$

(3) 速度 $v_y$:

加速度 $a_y$ を時間 $t$ で積分すると速度 $v_y$ が求まる。初期条件 $t=0$ で $v_y = 0$ であることを用いる。

$v_y = \int a_y dt = \int -g dt = -gt + C$

初期条件より、$0 = -g(0) + C$ なので、$C = 0$。

したがって、$v_y = -gt$

(4) 位置 $y$:

速度 $v_y$ を時間 $t$ で積分すると位置 $y$ が求まる。初期条件 $t=0$ で $y = 8$ であることを用いる。

$y = \int v_y dt = \int -gt dt = -\frac{1}{2}gt^2 + D$

初期条件より、$8 = -\frac{1}{2}g(0)^2 + D$ なので、$D = 8$。

したがって、$y = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$

(5) 地面に到着する時間 $t$:

$y = 0$ となる時間 $t$ を求める。

$0 = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$

$\frac{1}{2}gt^2 = 8$

$t^2 = \frac{16}{g}$

$t = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$

3. 最終的な答え

(1) 運動方程式: $ma_y = -mg$

(2) 加速度: $a_y = -g$

(3) 速度: $v_y = -gt$

(4) 位置: $y = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$

(5) 地面に到着する時間: $t = \frac{4}{\sqrt{g}}$