問題は、1日のうちの収縮期血圧の変動について、時刻 $x$ [時] (0 ≦ $x$ ≦ 24)における収縮期血圧 $y$ [mmHg] が与えられたグラフと数式で表されています。 (1) 20時における収縮期血圧を求める。 (2) 0時から8時までの間における、収縮期血圧の最小値を求める。 (3) 収縮期血圧が 120 mmHg となる時刻が含まれる時間帯を、選択肢ア〜クの中から2つ選ぶ。

1. 問題の内容

問題は、1日のうちの収縮期血圧の変動について、時刻 $x$ [時] (0 ≦ $x$ ≦ 24)における収縮期血圧 $y$ [mmHg] が与えられたグラフと数式で表されています。

(1) 20時における収縮期血圧を求める。

(2) 0時から8時までの間における、収縮期血圧の最小値を求める。

(3) 収縮期血圧が 120 mmHg となる時刻が含まれる時間帯を、選択肢ア〜クの中から2つ選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 20時における収縮期血圧を求める。

$x=20$ のとき、$8 \leqq x \leqq 20$ の範囲なので、$y = -\frac{1}{16}x^2 + x + 120$ に $x=20$ を代入する。

$y = -\frac{1}{16}(20)^2 + 20 + 120$

$y = -\frac{1}{16}(400) + 140$

$y = -25 + 140 = 115$

(2) 0時から8時までの間における、収縮期血圧の最小値を求める。

$0 \leqq x \leqq 8$ の範囲なので、$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 108$ を用いる。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 108$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 108$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2 + 108$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 106$

この式は、$x=2$ で最小値をとる。$x=2$ は $0 \leqq x \leqq 8$ の範囲内にあるので、最小値は

$y = \frac{1}{2}(2-2)^2 + 106 = 106$

(3) 収縮期血圧が 120 mmHg となる時刻が含まれる時間帯を求める。

まず、$0 \leqq x \leqq 8$ の場合、$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 108 = 120$ を解く。

$\frac{1}{2}x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - 4x - 24 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{7}$

$x = 2 + 2\sqrt{7} \approx 2 + 2(2.646) \approx 7.292$

$x = 2 - 2\sqrt{7} \approx 2 - 5.292 \approx -3.292$

$x = 2 + 2\sqrt{7}$ は 6時～9時の間に含まれる。

次に、$8 \leqq x \leqq 20$ の場合、$y = -\frac{1}{16}x^2 + x + 120 = 120$ を解く。

$-\frac{1}{16}x^2 + x = 0$

$x(-\frac{1}{16}x + 1) = 0$

$x = 0$ or $x = 16$

$x = 16$ は 15時～18時の間に含まれる。

3. 最終的な答え

(1) 20時における収縮期血圧：115 mmHg

(2) 0時から8時までの間における収縮期血圧の最小値：106 mmHg

(3) 収縮期血圧が 120 mmHg となる時刻が含まれる時間帯：ウ、カ