一辺の長さが $2a$ である正三角形から、各頂点において一辺の長さが $x$ の正方形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。 (1) 容器の底面の正三角形の一辺の長さと、容器の高さを $x$ で表す。 (2) $x$ の取りうる値の範囲を求める。 (3) 容器の容積 $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $2a$ である正三角形から、各頂点において一辺の長さが $x$ の正方形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。

(1) 容器の底面の正三角形の一辺の長さと、容器の高さを $x$ で表す。

(2) $x$ の取りうる値の範囲を求める。

(3) 容器の容積 $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 底面の正三角形の一辺の長さは、元の正三角形の一辺の長さから $2x$ を引いたものである。容器の高さは、$x$ である。

(2) $x$ は正の値であり、底面の正三角形の一辺の長さが正である必要がある。

(3) 容器の容積 $V$ は、底面積と高さの積で表される。底面積は、一辺の長さが $(2a - 2x)$ の正三角形の面積であり、高さは $x$ である。$V$ を $x$ の関数として表し、その最大値を求める。

(1)

底面の正三角形の一辺の長さ：$2a - 2x$

容器の高さ：$x$

(2)

$x > 0$ かつ $2a - 2x > 0$ である必要がある。

$2a - 2x > 0$ より、 $2x < 2a$

したがって、$x < a$

よって、$0 < x < a$

(3)

底面積 $S$ は、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a - 2x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4(a - x)^2 = \sqrt{3}(a - x)^2$

容器の容積 $V$ は、

$V = S \cdot x = \sqrt{3}x(a - x)^2 = \sqrt{3}x(a^2 - 2ax + x^2) = \sqrt{3}(x^3 - 2ax^2 + a^2x)$

$V$ を $x$ で微分する。

$\frac{dV}{dx} = \sqrt{3}(3x^2 - 4ax + a^2) = \sqrt{3}(3x - a)(x - a)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となるのは、$x = \frac{a}{3}$ または $x = a$ のとき。

$0 < x < a$ より、$x = \frac{a}{3}$ のとき、$V$ は極値をとる。

$x < \frac{a}{3}$ のとき、$\frac{dV}{dx} > 0$

$x > \frac{a}{3}$ のとき、$\frac{dV}{dx} < 0$

したがって、$x = \frac{a}{3}$ で $V$ は最大となる。

$x = \frac{a}{3}$ のとき、

$V = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{3}(a - \frac{a}{3})^2 = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{3}(\frac{2a}{3})^2 = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{4a^2}{9} = \frac{4\sqrt{3}a^3}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 底面の正三角形の一辺の長さ：$2a - 2x$

容器の高さ：$x$

(2) $0 < x < a$

(3) $V = \sqrt{3}x(a - x)^2$

$V$ の最大値：$\frac{4\sqrt{3}a^3}{27}$

そのときの $x$ の値：$\frac{a}{3}$