ある自動車が動き始めてから $x$ 秒間に進んだ距離を $y$ mとする。最初の150mまでは $y$ は $x$ の2乗に比例し、それ以降は $y$ は $x$ に比例するという。自動車が動き始めてから4秒間に24m進んだとき、以下の問題に答える。 (1) $y$ が $x$ の2乗に比例する範囲で、$y$ を $x$ の式で表す。 (2) 自動車が動き始めて6秒後から8秒後までの平均の速さを求める。 (3) 150m以降の速さは、動き始めてから150m進むまでの平均の速さと等しいとき、$y \geq 150$ のときの $y$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

ある自動車が動き始めてから $x$ 秒間に進んだ距離を $y$ mとする。最初の150mまでは $y$ は $x$ の2乗に比例し、それ以降は $y$ は $x$ に比例するという。自動車が動き始めてから4秒間に24m進んだとき、以下の問題に答える。

(1) $y$ が $x$ の2乗に比例する範囲で、$y$ を $x$ の式で表す。

(2) 自動車が動き始めて6秒後から8秒後までの平均の速さを求める。

(3) 150m以降の速さは、動き始めてから150m進むまでの平均の速さと等しいとき、$y \geq 150$ のときの $y$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $y$ が $x$ の2乗に比例する範囲では、$y = ax^2$ と表せる。自動車が動き始めてから4秒間に24m進んだことから、$x = 4$ のとき $y = 24$ なので、

$24 = a(4^2)$

$24 = 16a$

$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

よって、$y = \frac{3}{2}x^2$

(2) まず、150m進むまでにかかる時間を求める。$y = \frac{3}{2}x^2 = 150$ を解くと、

$\frac{3}{2}x^2 = 150$

$x^2 = 100$

$x = 10$ ( $x > 0$ より)

よって、150m進むまでには10秒かかる。

6秒後の位置は、$y = \frac{3}{2}(6^2) = \frac{3}{2}(36) = 54$ m。

8秒後の位置は、$y = \frac{3}{2}(8^2) = \frac{3}{2}(64) = 96$ m。

6秒後から8秒後までの平均の速さは、$\frac{96 - 54}{8 - 6} = \frac{42}{2} = 21$ m/秒。

(3) 150m進むまでは10秒かかり、その時の速さは、

$v = \frac{dy}{dx} = 3x$.

$x = 10$ のとき、瞬間の速さは $v = 3 \times 10 = 30$ m/秒。

$x = 0$ から $x = 10$ までの平均の速さは $\frac{150}{10} = 15$ m/秒。

$y \geq 150$ の範囲では、$y$ は $x$ に比例する。

$y = b(x - 10) + 150$ と表せる。

ここで、$b$ は比例定数であり、150m以降の速さである。

150m以降の速さは、150m進むまでの平均の速さ15m/秒と等しいので、$b = 15$。

よって、$y = 15(x - 10) + 150 = 15x - 150 + 150 = 15x$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x^2$

(2) 21 m/秒

(3) $y = 15x$