ビルの屋上から小石Aを静かに落下させ、2秒後に別の小石Bを初速度24.5m/sで投げ下ろしたところ、2つの小石は同時に地面に落ちた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。 (1) 小石Bを投げ下ろしてから地面に落ちるまでの時間 $t$ [s] を求めよ。 (2) ビルの高さ $h$ [m] を求めよ。

1. 問題の内容

ビルの屋上から小石Aを静かに落下させ、2秒後に別の小石Bを初速度24.5m/sで投げ下ろしたところ、2つの小石は同時に地面に落ちた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。

(1) 小石Bを投げ下ろしてから地面に落ちるまでの時間 $t$ [s] を求めよ。

(2) ビルの高さ $h$ [m] を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

小石Aが落下する時間を $t_A$ とすると、小石Bが落下する時間は $t$ なので、

$t_A = t + 2$ が成り立つ。

小石Aの落下距離 $h$ は、自由落下の式より

$h = \frac{1}{2}gt_A^2 = \frac{1}{2}g(t+2)^2$

小石Bの落下距離 $h$ は、鉛直投げ下ろしの式より

$h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 = 24.5t + \frac{1}{2}gt^2$

2つの式は等しいので、

$\frac{1}{2}g(t+2)^2 = 24.5t + \frac{1}{2}gt^2$

$\frac{1}{2} \times 9.8 \times (t^2 + 4t + 4) = 24.5t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$4.9(t^2 + 4t + 4) = 24.5t + 4.9t^2$

$4.9t^2 + 19.6t + 19.6 = 24.5t + 4.9t^2$

$19.6t + 19.6 = 24.5t$

$4.9t = 19.6$

$t = \frac{19.6}{4.9} = 4$

(2)

$h$ は小石Bの落下距離で求められるので、

$h = 24.5t + \frac{1}{2}gt^2$

$h = 24.5 \times 4 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4^2$

$h = 98 + 4.9 \times 16$

$h = 98 + 78.4$

$h = 176.4$

3. 最終的な答え

(1) 4 [s]

(2) 176.4 [m]