直方体の水槽があり、高さ20cmの板で底面がPとQの2つの部分に区切られています。給水管からPの方へ一定量の水を入れます。図3は、水を入れ始めてからx分後の底面Pからの水面までの高さycmの関係を表したグラフです。(i)給水管から入る水の量は1分間に何$cm^3$か。(ii)水面の高さが25cmになるのは、水を入れ始めてから何分後か。

1. 問題の内容

直方体の水槽があり、高さ20cmの板で底面がPとQの2つの部分に区切られています。給水管からPの方へ一定量の水を入れます。図3は、水を入れ始めてからx分後の底面Pからの水面までの高さycmの関係を表したグラフです。(i)給水管から入る水の量は1分間に何$cm^3$か。(ii)水面の高さが25cmになるのは、水を入れ始めてから何分後か。

2. 解き方の手順

(i) 給水管から入る水の量を求める。

図3のグラフから、水面が20cmになるまで16分かかっていることがわかる。

底面Pの面積は $30 \times 40 = 1200 cm^2$。

水槽のPの部分の水面が20cmになるまでの水の量は、

$1200 \times 20 = 24000 cm^3$。

したがって、1分間に入る水の量は、

$\frac{24000}{16} = 1500 cm^3$。

(ii) 水面の高さが25cmになるまでの時間を求める。

水槽全体の底面積は、$30 \times (40+20) = 1800 cm^2$。

水面の高さが20cmになるまで16分かかり、底面Pの部分は満水になっています。

水面が20cmから25cmになるまでの体積は、

$1800 \times (25-20) = 1800 \times 5 = 9000 cm^3$。

1分間に入る水の量は $1500 cm^3$なので、

$9000 cm^3$貯まるには $\frac{9000}{1500} = 6$分かかる。

よって、水面の高さが25cmになるのは、水を入れ始めてから $16 + 6 = 22$分後である。

3. 最終的な答え

(i) 1500

(ii) 22