$x > 0$ の範囲において、不等式 $4x^3 + 1 \geq kx$ が常に成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$ の範囲において、不等式 $4x^3 + 1 \geq kx$ が常に成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形して、$k$ を分離します。$x > 0$ より、$x$ で割っても不等号の向きは変わりません。

$4x^3 + 1 \geq kx$

$\frac{4x^3 + 1}{x} \geq k$

ここで、$f(x) = \frac{4x^3 + 1}{x} = 4x^2 + \frac{1}{x}$ とおきます。$x > 0$ における $f(x)$ の最小値を求めれば、$k$ の範囲が求まります。

$f(x)$ を微分して、増減を調べます。

$f'(x) = 8x - \frac{1}{x^2} = \frac{8x^3 - 1}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x > 0$ より、$x^2 > 0$ なので、$8x^3 - 1$ の符号を調べれば十分です。

$0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$8x^3 < 1$ なので、$8x^3 - 1 < 0$ となり、$f'(x) < 0$ です。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$8x^3 > 1$ なので、$8x^3 - 1 > 0$ となり、$f'(x) > 0$ です。

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で極小かつ最小となります。その最小値は

$f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$

したがって、$k \leq 3$ となります。

3. 最終的な答え

$k \leq 3$