質量 $m$ の物体に力 $F_x = -kx$ が働く運動を考える。ただし、$t=0$ のとき $x=4$ で静止していたとする。 (1) この物体の $x$ 軸方向の運動方程式を書き下す。 (2) $x(t) = e^{\alpha t}$ と置いて運動方程式に代入し、$\alpha$ の値を求める。ただし、$i^2 = -1$ となる虚数単位 $i$ を用いてよい。また、$\alpha$ の解が複数あることに注意する。 (3) 前問の $\alpha$ の解が2つある場合、$x(t)$ の解は $x(t) = A e^{\alpha_1 t} + B e^{\alpha_2 t}$ と定数 $A, B$ を使って2つの解の足し算として表される。初期条件 ($t=0$ のときの位置および速度) を使って定数 $A, B$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体に力 $F_x = -kx$ が働く運動を考える。ただし、$t=0$ のとき $x=4$ で静止していたとする。

(1) この物体の $x$ 軸方向の運動方程式を書き下す。

(2) $x(t) = e^{\alpha t}$ と置いて運動方程式に代入し、$\alpha$ の値を求める。ただし、$i^2 = -1$ となる虚数単位 $i$ を用いてよい。また、$\alpha$ の解が複数あることに注意する。

(3) 前問の $\alpha$ の解が2つある場合、$x(t)$ の解は $x(t) = A e^{\alpha_1 t} + B e^{\alpha_2 t}$ と定数 $A, B$ を使って2つの解の足し算として表される。初期条件 ($t=0$ のときの位置および速度) を使って定数 $A, B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てる。ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、$ma = -kx$。加速度 $a$ は $x$ の2階微分 $\frac{d^2x}{dt^2}$ なので、運動方程式は

$$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

となる。

(2) $x(t) = e^{\alpha t}$ を運動方程式に代入する。まず、$\frac{dx}{dt} = \alpha e^{\alpha t}$、$\frac{d^2x}{dt^2} = \alpha^2 e^{\alpha t}$ である。

したがって、運動方程式は

$$m \alpha^2 e^{\alpha t} = -k e^{\alpha t}$$

となる。$e^{\alpha t} \neq 0$ より、両辺を $e^{\alpha t}$ で割ると

$$m \alpha^2 = -k$$

$$\alpha^2 = -\frac{k}{m}$$

$$\alpha = \pm \sqrt{-\frac{k}{m}} = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$$

となる。したがって、$\alpha_1 = i \sqrt{\frac{k}{m}}$, $\alpha_2 = -i \sqrt{\frac{k}{m}}$ である。

(3) 一般解 $x(t) = A e^{\alpha_1 t} + B e^{\alpha_2 t}$ に初期条件を適用する。

$x(t) = A e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} t} + B e^{-i \sqrt{\frac{k}{m}} t}$

$t=0$ のとき $x(0) = 4$ より、

$x(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 4$

また、$v(t) = \frac{dx}{dt} = A i \sqrt{\frac{k}{m}} e^{i \sqrt{\frac{k}{m}} t} - B i \sqrt{\frac{k}{m}} e^{-i \sqrt{\frac{k}{m}} t}$

$t=0$ のとき $v(0) = 0$ より、

$v(0) = A i \sqrt{\frac{k}{m}} - B i \sqrt{\frac{k}{m}} = i \sqrt{\frac{k}{m}} (A - B) = 0$

したがって、$A - B = 0$、つまり $A = B$ である。

$A + B = 4$ より、$2A = 4$ なので、$A = 2$。したがって、$B = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

(2) $\alpha = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$

(3) $A = 2$, $B = 2$