傾斜角30°の斜面上に質量 $m$ の物体Pがあり、滑車を通して質量 $M$ の物体Qと繋がれている。Pと斜面間の静止摩擦係数は $\frac{1}{3}$、動摩擦係数は $\frac{1}{2\sqrt{3}}$である。重力加速度を $g$ とする。 (1) PとQが静止するための $M$ の範囲を $m$ で表す。 (2) Qの初期の高さを $h$ とし、$M = \frac{3}{2}m$ として静かに放す。 (ア) Qの加速度 $a$ と、Qが床に達する時の速度 $v$ を求める。 (イ) Qが床に達した後、Pが最高点に達して止まるまでの距離 $l$ と時間 $t$ を求める。

1. 問題の内容

傾斜角30°の斜面上に質量 $m$ の物体Pがあり、滑車を通して質量 $M$ の物体Qと繋がれている。Pと斜面間の静止摩擦係数は $\frac{1}{3}$、動摩擦係数は $\frac{1}{2\sqrt{3}}$である。重力加速度を $g$ とする。

(1) PとQが静止するための $M$ の範囲を $m$ で表す。

(2) Qの初期の高さを $h$ とし、$M = \frac{3}{2}m$ として静かに放す。

(ア) Qの加速度 $a$ と、Qが床に達する時の速度 $v$ を求める。

(イ) Qが床に達した後、Pが最高点に達して止まるまでの距離 $l$ と時間 $t$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) PとQが静止している条件

Pに働く力は、重力 $mg$、糸の張力 $T$、垂直抗力 $N$、静止摩擦力 $f$ である。

斜面に沿った方向の力の釣り合いを考えると、

$T - mg\sin{30^\circ} - f = 0$

垂直方向の力の釣り合いを考えると、

$N - mg\cos{30^\circ} = 0$

$N = mg\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$

Qに働く力は、重力 $Mg$、糸の張力 $T$ である。力の釣り合いより、

$T = Mg$

Pが静止しているためには、静止摩擦力 $f$ が最大静止摩擦力 $\mu N$ を超えてはならない。

$-\mu N \le f \le \mu N$

ここで、$\mu = \frac{1}{3}$ なので、$\mu N = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg = \frac{\sqrt{3}}{6}mg$

$Mg - mg\sin{30^\circ} = f$ より

$Mg - \frac{1}{2}mg = f$

$-\frac{\sqrt{3}}{6}mg \le Mg - \frac{1}{2}mg \le \frac{\sqrt{3}}{6}mg$

$-\frac{\sqrt{3}}{6}mg + \frac{1}{2}mg \le Mg \le \frac{\sqrt{3}}{6}mg + \frac{1}{2}mg$

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} \le \frac{M}{m} \le \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\frac{3 - \sqrt{3}}{6} \le \frac{M}{m} \le \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

$\frac{3 - \sqrt{3}}{6}m \le M \le \frac{3 + \sqrt{3}}{6}m$

(2) $M = \frac{3}{2}m$ のとき

(ア) PとQの運動方程式を立てる。Pが斜面を下る方向に $x$ 軸をとる。

$m a = mg\sin{30^\circ} + f - T$

$Ma = Mg - T$

$T = M(g-a)$

$ma = mg\sin{30^\circ} + \mu' N - M(g-a)$

$ma = \frac{1}{2}mg + \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg - M(g-a)$

$M = \frac{3}{2}m$ を代入

$ma = \frac{1}{2}mg + \frac{1}{4}mg - \frac{3}{2}m(g-a)$

$ma = \frac{3}{4}mg - \frac{3}{2}mg + \frac{3}{2}ma$

$-\frac{1}{2}ma = -\frac{3}{4}mg$

$a = \frac{3}{2}g$

Qが床に達する時の速度 $v$ は、等加速度運動の公式より

$v^2 - 0^2 = 2ah$

$v^2 = 2(\frac{3}{2}g)h = 3gh$

$v = \sqrt{3gh}$

(イ) Qが床に達した後、Pは動摩擦力によって減速する。加速度を $a'$ とすると、

$ma' = mg\sin{30^\circ} + f = mg\sin{30^\circ} - \mu' N$

$ma' = \frac{1}{2}mg - \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg = \frac{1}{2}mg - \frac{1}{4}mg = \frac{1}{4}mg$

$a' = \frac{1}{4}g$

Pが止まるまでの距離 $l$ は、

$0^2 - v^2 = 2a'l$

$-v^2 = 2(-\frac{1}{4}g)l$

$-3gh = -\frac{1}{2}gl$

$l = 6h$

Pが止まるまでの時間 $t'$ は、

$0 - v = a't'$

$t' = \frac{v}{a'} = \frac{\sqrt{3gh}}{\frac{1}{4}g} = \frac{4\sqrt{3gh}}{g}$

Qが動き始めてから床に達するまでの時間 $t_1$ は

$h = \frac{1}{2}at_1^2$ より

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{\frac{3}{2}g}} = \sqrt{\frac{4h}{3g}}$

したがって、Pが動き始めてから止まるまでの時間 $t$ は、

$t = t_1 + t' = \sqrt{\frac{4h}{3g}} + \frac{4\sqrt{3gh}}{g} = 2\sqrt{\frac{h}{3g}} + 4\sqrt{\frac{3h}{g}} = \frac{2\sqrt{3gh}}{3g} + \frac{12\sqrt{3gh}}{3g} = \frac{14\sqrt{3gh}}{3g}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}m \le M \le \frac{3 + \sqrt{3}}{6}m$

(2) (ア) $a = \frac{3}{2}g$, $v = \sqrt{3gh}$

(イ) $l = 6h$, $t = \frac{14\sqrt{3gh}}{3g}$