ボールが落下する距離 $y$ (m) と時間 $x$ (秒) の関係が $y = 5x^2$ で表されるとき、以下の問題を解きます。 (1) 0秒から2秒後までの平均の速さを求めます。 (2) 4秒後から5秒後までの平均の速さを求めます。 (3) $t$秒後から$t+1$秒後までの平均の速さが75m/秒であるとき、$t$の値を求めます。

1. 問題の内容

ボールが落下する距離 $y$ (m) と時間 $x$ (秒) の関係が $y = 5x^2$ で表されるとき、以下の問題を解きます。

(1) 0秒から2秒後までの平均の速さを求めます。

(2) 4秒後から5秒後までの平均の速さを求めます。

(3) $t$秒後から$t+1$秒後までの平均の速さが75m/秒であるとき、$t$の値を求めます。

2. 解き方の手順

平均の速さは、$\frac{\text{移動距離}}{\text{経過時間}}$ で計算できます。

(1) 0秒から2秒後までの平均の速さ

* 0秒後の落下距離は $y = 5 \times 0^2 = 0$ m です。

* 2秒後の落下距離は $y = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20$ m です。

* 経過時間は $2 - 0 = 2$ 秒です。

* 平均の速さは $\frac{20 - 0}{2 - 0} = \frac{20}{2} = 10$ m/秒です。

(2) 4秒後から5秒後までの平均の速さ

* 4秒後の落下距離は $y = 5 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80$ m です。

* 5秒後の落下距離は $y = 5 \times 5^2 = 5 \times 25 = 125$ m です。

* 経過時間は $5 - 4 = 1$ 秒です。

* 平均の速さは $\frac{125 - 80}{5 - 4} = \frac{45}{1} = 45$ m/秒です。

(3) $t$秒後から$t+1$秒後までの平均の速さが75m/秒

* $t$秒後の落下距離は $y = 5t^2$ m です。

* $t+1$秒後の落下距離は $y = 5(t+1)^2$ m です。

* 経過時間は $(t+1) - t = 1$ 秒です。

* 平均の速さは $\frac{5(t+1)^2 - 5t^2}{(t+1)-t} = \frac{5(t^2 + 2t + 1) - 5t^2}{1} = 5t^2 + 10t + 5 - 5t^2 = 10t + 5$ m/秒です。

* 平均の速さが75m/秒なので、$10t + 5 = 75$ となります。

$10t = 75 - 5 = 70$

$t = \frac{70}{10} = 7$

3. 最終的な答え

(1) 10 m/秒

(2) 45 m/秒

(3) $t = 7$