質量 $m$ の物体に $F_y = -mg$ の重力が働き、時刻 $t=0$ で $y=8$ の位置に静止していた場合について、以下の問いに答えます。 (1) この物体のy軸方向の運動方程式を書け。 (2) この物体の任意の時間 $t$ における加速度 $a_y$ を求めよ。 (3) この物体の任意の時間 $t$ における速度 $v_y$ を求めよ。 (4) この物体の任意の時間 $t$ における位置 $y$ を求めよ。 (5) この物体が地面に到着する ($y=0$ となる) 時間 $t$ を求めよ。 (6) この物体が $y=8$ から $y=0$ まで移動する間に重力から受けた仕事を求めよ。 (7) この物体が地面に到着した ($y=0$ の) 時の速度の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体に $F_y = -mg$ の重力が働き、時刻 $t=0$ で $y=8$ の位置に静止していた場合について、以下の問いに答えます。

(1) この物体のy軸方向の運動方程式を書け。

(2) この物体の任意の時間 $t$ における加速度 $a_y$ を求めよ。

(3) この物体の任意の時間 $t$ における速度 $v_y$ を求めよ。

(4) この物体の任意の時間 $t$ における位置 $y$ を求めよ。

(5) この物体が地面に到着する ($y=0$ となる) 時間 $t$ を求めよ。

(6) この物体が $y=8$ から $y=0$ まで移動する間に重力から受けた仕事を求めよ。

(7) この物体が地面に到着した ($y=0$ の) 時の速度の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は、ニュートンの第二法則 $F = ma$ を適用することで求められます。 y軸方向の力は重力のみなので、運動方程式は $ma_y = -mg$ となります。

(2) (1)で求めた運動方程式から加速度を求めます。$ma_y = -mg$ より、$a_y = -g$ となります。

(3) 加速度を時間で積分することで速度を求めます。$v_y = \int a_y dt = \int -g dt = -gt + C$。初期条件 $t=0$ で $v_y=0$ より、$C=0$ となります。したがって、$v_y = -gt$。

(4) 速度を時間で積分することで位置を求めます。$y = \int v_y dt = \int -gt dt = -\frac{1}{2}gt^2 + C'$。初期条件 $t=0$ で $y=8$ より、$C'=8$ となります。したがって、$y = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$。

(5) 地面に到着する時、$y=0$ なので、(4)で求めた式に代入して $t$ を求めます。$0 = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$ より、$\frac{1}{2}gt^2 = 8$。したがって、$t^2 = \frac{16}{g}$、$t = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$。

(6) 重力から受けた仕事は、重力の大きさ × 移動距離 で求められます。重力の大きさは $mg$ で、移動距離は $8-0=8$ なので、仕事は $W = mg \times 8 = 8mg$。

(7) 地面に到着した時の速度は、(3)で求めた速度の式に(5)で求めた時間 $t$ を代入することで求められます。$v_y = -g \times \frac{4}{\sqrt{g}} = -4\sqrt{g}$。速度の大きさなので絶対値をとり、$|v_y| = 4\sqrt{g}$。

3. 最終的な答え

(1) $ma_y = -mg$

(2) $a_y = -g$

(3) $v_y = -gt$

(4) $y = -\frac{1}{2}gt^2 + 8$

(5) $t = \frac{4}{\sqrt{g}}$

(6) $8mg$

(7) $4\sqrt{g}$