次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{2} |x^2 - x| dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} |x^2 - x| dx$

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - x|$ の絶対値を外します。

$x^2 - x = x(x - 1)$ なので、$x(x - 1) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = 1$ のときです。

$x < 0$ のとき、$x(x - 1) > 0$

$0 < x < 1$ のとき、$x(x - 1) < 0$

$x > 1$ のとき、$x(x - 1) > 0$

したがって、

$|x^2 - x| = \begin{cases}

x^2 - x & (x \leq 0, x \geq 1) \\

-(x^2 - x) = x - x^2 & (0 < x < 1)

\end{cases}$

よって、積分は次のように分割できます。

$\int_{-1}^{2} |x^2 - x| dx = \int_{-1}^{0} (x^2 - x) dx + \int_{0}^{1} (x - x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x) dx$

各積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (x^2 - x) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2) = 0 - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$\int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3 - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$\int_{1}^{2} (x^2 - x) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2) - (\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2) = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

したがって、

$\int_{-1}^{2} |x^2 - x| dx = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{6}$