与えられたスカラー場やベクトル場について、以下の問題を解きます。 1. スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ の点 $P(2, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられたスカラー場やベクトル場について、以下の問題を解きます。

1. スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ の点 $P(2, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

2. スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ について、以下の問題を解きます。

(1) $\nabla \phi$ を求めます。

(2) 単位ベクトル $\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ が与えられたとき、点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $\vec{a}$ 方向成分を求めます。

3. 与えられたベクトル場 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ の発散と回転を求めます。

(1) $\vec{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$

(2) $\vec{B} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$

(3) $\vec{C} = (\cos x \sin y, \sin x \cos y, \cos x \sin y)$

4. 位置ベクトル場 $\vec{r} = (x, y, z)$, $r = |\vec{r}|$ について、以下の問題を $\vec{r}$ と $r$ を用いて表します。

(1) $\nabla r$ を求めます。

(2) $\nabla^2 r$ を求めます。

(3) $\nabla \times (r\vec{r})$ を求めます。

(4) $\nabla (r^2e^{-r})$ を求めます。

2. 解き方の手順

1. スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ の点 $P(2, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。

まず、勾配 $\nabla \phi$ を計算します。

$\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

点 $P(2, -2, 1)$ における勾配 $\nabla \phi|_P$ を計算します。

$\nabla \phi|_P = (2(2)(-2) + 2(1), 2^2, 2(2)) = (-6, 4, 4)$

単位法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\nabla \phi|_P$ をその大きさで割ったものです。

$|\nabla \phi|_P| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

したがって、$\vec{n} = \frac{\nabla \phi|_P}{|\nabla \phi|_P|} = \frac{(-6, 4, 4)}{2\sqrt{17}} = \frac{(-3, 2, 2)}{\sqrt{17}}$

2. スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ について、

(1) $\nabla \phi$ を求めます。

$\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) 単位ベクトル $\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ が与えられたとき、点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $\vec{a}$ 方向成分を求めます。

まず、点 $(1, 1, 1)$ における勾配 $\nabla \phi|_{(1, 1, 1)}$ を計算します。

$\nabla \phi|_{(1, 1, 1)} = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2, 2(1)^2(1) + (1)(1), (1)(1) + 6(1)(1)) = (2 + 1 + 3, 2 + 1, 1 + 6) = (6, 3, 7)$

$\nabla \phi|_{(1, 1, 1)}$ の $\vec{a}$ 方向成分は、$\nabla \phi|_{(1, 1, 1)} \cdot \vec{a}$ で与えられます。

$\nabla \phi|_{(1, 1, 1)} \cdot \vec{a} = (6, 3, 7) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(6 + 3 + 7) = \frac{16}{\sqrt{3}}$

3. ベクトル場の発散と回転を求めます。

(1) $\vec{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y}\cos x) = -e^{-y}\sin x + e^{-y}\cos x + 0 = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \vec{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) = (0 - 0, 0 - (-e^{-y}\sin x), e^{-y}\sin x - (-e^{-y}(-\cos x))) = (0, e^{-y}\sin x, e^{-y}(\sin x - \cos x))$

(2) $\vec{B} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$

$\nabla \cdot \vec{B} = \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z^2) = \sin y - 2x \sin y + 4z = \sin y (1 - 2x) + 4z$

$\nabla \times \vec{B} = \left(\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}, \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x}, \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}\right) = (0 - 0, 0 - 0, 2\cos y - x\cos y) = (0, 0, \cos y(2 - x))$

(3) $\vec{C} = (\cos x \sin y, \sin x \cos y, \cos x \sin y)$

$\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(\cos x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(\sin x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(\cos x \sin y) = -\sin x \sin y - \sin x \sin y + 0 = -2\sin x \sin y$

$\nabla \times \vec{C} = \left(\frac{\partial C_z}{\partial y} - \frac{\partial C_y}{\partial z}, \frac{\partial C_x}{\partial z} - \frac{\partial C_z}{\partial x}, \frac{\partial C_y}{\partial x} - \frac{\partial C_x}{\partial y}\right) = (0 - 0, 0 - (-\sin x \sin y), \cos x \cos y - \cos x \cos y) = (0, \sin x \sin y, 0)$

4. 位置ベクトル場 $\vec{r} = (x, y, z)$, $r = |\vec{r}|$ について、

(1) $\nabla r$ を求めます。

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\nabla r = \left(\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}\right) = \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right) = \frac{\vec{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r$ を求めます。

$\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot \left(\frac{\vec{r}}{r}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right)$

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) = \frac{r - x\frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3}$

同様に、$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right) = \frac{r^2 - y^2}{r^3}$、$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right) = \frac{r^2 - z^2}{r^3}$

$\nabla^2 r = \frac{r^2 - x^2}{r^3} + \frac{r^2 - y^2}{r^3} + \frac{r^2 - z^2}{r^3} = \frac{3r^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{r^3} = \frac{3r^2 - r^2}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (r\vec{r})$ を求めます。

$\nabla \times (r\vec{r}) = \nabla \times (rx, ry, rz) = \left(\frac{\partial}{\partial y}(rz) - \frac{\partial}{\partial z}(ry), \frac{\partial}{\partial z}(rx) - \frac{\partial}{\partial x}(rz), \frac{\partial}{\partial x}(ry) - \frac{\partial}{\partial y}(rx)\right) = \left(z\frac{\partial r}{\partial y} - y\frac{\partial r}{\partial z}, x\frac{\partial r}{\partial z} - z\frac{\partial r}{\partial x}, y\frac{\partial r}{\partial x} - x\frac{\partial r}{\partial y}\right)$

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}, \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$

$\nabla \times (r\vec{r}) = \left(z\frac{y}{r} - y\frac{z}{r}, x\frac{z}{r} - z\frac{x}{r}, y\frac{x}{r} - x\frac{y}{r}\right) = (0, 0, 0) = \vec{0}$

(4) $\nabla (r^2e^{-r})$ を求めます。

$\nabla (r^2e^{-r}) = \frac{\partial}{\partial x}(r^2e^{-r}) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}(r^2e^{-r}) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}(r^2e^{-r}) \vec{k}$

$\frac{\partial}{\partial x}(r^2e^{-r}) = \frac{\partial}{\partial r}(r^2e^{-r})\frac{\partial r}{\partial x} = (2re^{-r} - r^2e^{-r})\frac{x}{r} = x(2e^{-r} - re^{-r})$

同様に、$\frac{\partial}{\partial y}(r^2e^{-r}) = y(2e^{-r} - re^{-r})$, $\frac{\partial}{\partial z}(r^2e^{-r}) = z(2e^{-r} - re^{-r})$

$\nabla (r^2e^{-r}) = (x, y, z)(2e^{-r} - re^{-r}) = (2e^{-r} - re^{-r})\vec{r}$

3. 最終的な答え

1. $\vec{n} = \frac{(-3, 2, 2)}{\sqrt{17}}$

2. (1) $\nabla \phi = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) $\frac{16}{\sqrt{3}}$

3. (1) $\nabla \cdot \vec{A} = e^{-y}(\cos x - \sin x)$, $\nabla \times \vec{A} = (0, e^{-y}\sin x, e^{-y}(\sin x - \cos x))$

(2) $\nabla \cdot \vec{B} = \sin y (1 - 2x) + 4z$, $\nabla \times \vec{B} = (0, 0, \cos y(2 - x))$

(3) $\nabla \cdot \vec{C} = -2\sin x \sin y$, $\nabla \times \vec{C} = (0, \sin x \sin y, 0)$

4. (1) $\nabla r = \frac{\vec{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (r\vec{r}) = \vec{0}$

(4) $\nabla (r^2e^{-r}) = (2e^{-r} - re^{-r})\vec{r}$