2次関数 $f(x) = x^2 - ax$ （定義域 $-1 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求め、それらを与える $x$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - ax$ （定義域 $-1 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求め、それらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - ax$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - ax = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$

これは、軸が $x = \frac{a}{2}$ の下に凸の放物線です。定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めるには、軸の位置によって場合分けが必要です。

(i) $\frac{a}{2} < -1$, つまり $a < -2$ のとき、

$f(x)$ は区間内で単調増加なので、

最小値は $f(-1) = (-1)^2 - a(-1) = 1 + a$ ($x = -1$ でとる)

最大値は $f(1) = 1^2 - a(1) = 1 - a$ ($x = 1$ でとる)

(ii) $-1 \le \frac{a}{2} \le 1$, つまり $-2 \le a \le 2$ のとき、

最小値は $f(\frac{a}{2}) = - \frac{a^2}{4}$ ($x = \frac{a}{2}$ でとる)

最大値は、$f(-1)$ と $f(1)$ のどちらか大きい方になる。

$f(-1) = 1 + a$

$f(1) = 1 - a$

$1 + a > 1 - a$ ⇔ $a > 0$

$1 + a < 1 - a$ ⇔ $a < 0$

$a = 0$ なら $f(-1) = f(1) = 1$

よって、

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $f(-1) = 1 + a$ ($x = -1$ でとる)

$-2 \le a < 0$ のとき、最大値は $f(1) = 1 - a$ ($x = 1$ でとる)

$a = 0$ のとき、最大値は $f(1) = f(-1) = 1$ ($x=1, -1$でとる)

(iii) $\frac{a}{2} > 1$, つまり $a > 2$ のとき、

$f(x)$ は区間内で単調減少なので、

最小値は $f(1) = 1 - a$ ($x = 1$ でとる)

最大値は $f(-1) = 1 + a$ ($x = -1$ でとる)

3. 最終的な答え

(i) $a < -2$ のとき、

最大値: $1 - a$ ($x = 1$ でとる)、最小値: $1 + a$ ($x = -1$ でとる)

(ii) $-2 \le a \le 2$ のとき、

$0 < a \le 2$ のとき、最大値: $1 + a$ ($x = -1$ でとる)、最小値: $- \frac{a^2}{4}$ ($x = \frac{a}{2}$ でとる)

$-2 \le a < 0$ のとき、最大値: $1 - a$ ($x = 1$ でとる)、最小値: $- \frac{a^2}{4}$ ($x = \frac{a}{2}$ でとる)

$a = 0$ のとき、最大値: $1$ ($x = -1, 1$ でとる)、最小値: $0$ ($x = 0$ でとる)

(iii) $a > 2$ のとき、

最大値: $1 + a$ ($x = -1$ でとる)、最小値: $1 - a$ ($x = 1$ でとる)