条件 $x^2 + 2y^2 -1 = 0$ のもとで、$x^2 + y$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

条件 $x^2 + 2y^2 -1 = 0$ のもとで、$x^2 + y$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

関数 $f(x, y) = x^2 + y$ と制約条件 $g(x, y) = x^2 + 2y^2 - 1 = 0$ を考える。

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ を定義する。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y - \lambda(x^2 + 2y^2 - 1)$

以下の連立方程式を解く。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 4\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + 2y^2 - 1) = 0$

最初の式から、$2x(1 - \lambda) = 0$ なので、$x = 0$ または $\lambda = 1$。

$x = 0$ のとき、3番目の式から $2y^2 - 1 = 0$ なので、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。このとき、$x^2 + y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\lambda = 1$ のとき、2番目の式から $1 - 4y = 0$ なので、$y = \frac{1}{4}$。3番目の式から $x^2 + 2(\frac{1}{4})^2 - 1 = 0$。よって、$x^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$。$x = \pm \sqrt{\frac{7}{8}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{4}$。このとき、$x^2 + y = \frac{7}{8} + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} + \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$

極値の候補は $\pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0.707$ と $\frac{9}{8} = 1.125$

極大値は $\frac{9}{8}$ で、極小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

極大値: $\frac{9}{8}$

極小値: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$