次の式を計算して、実部と虚部を求めよ。 $\frac{5}{1+2i} = \boxed{キ} - \boxed{ク}i$

1. 問題の内容

次の式を計算して、実部と虚部を求めよ。

$\frac{5}{1+2i} = \boxed{キ} - \boxed{ク}i$

2. 解き方の手順

複素数の分母に複素数がある場合、分母の共役複素数を分母と分子の両方に掛けて分母を実数化します。

分母 $1+2i$ の共役複素数は $1-2i$ です。したがって、与えられた分数の分子と分母に $1-2i$ を掛けます。

$\frac{5}{1+2i} = \frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分母を展開すると、

$(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i + 2i - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{5(1-2i)}{5} = 1-2i$

よって、

$\frac{5}{1+2i} = 1 - 2i$

3. 最終的な答え

キ = 1

ク = 2

$\frac{5}{1+2i} = 1-2i$