上り列車と下り列車がトンネルに両側から同時に進入する。下り列車がトンネルを抜けきるまで50秒、その後10秒後に上り列車がトンネルを抜けきる。 (1) 上り列車の秒速を求める。 (2) 車両1両の長さを求める。 (3) 両列車の先頭が出会うまでの時間を求める。

1. 問題の内容

上り列車と下り列車がトンネルに両側から同時に進入する。下り列車がトンネルを抜けきるまで50秒、その後10秒後に上り列車がトンネルを抜けきる。

(1) 上り列車の秒速を求める。

(2) 車両1両の長さを求める。

(3) 両列車の先頭が出会うまでの時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 上り列車の秒速を求める。

上り列車の時速は64.8kmなので、秒速に変換する。

$64.8 \text{ km/h} = 64800 \text{ m/h} = \frac{64800}{3600} \text{ m/s} = 18 \text{ m/s}$

(2) 1両の長さを求める。

上り列車がトンネルを抜けきるのにかかった時間は、下り列車がトンネルを抜けきるのにかかった時間 + 10秒であるから、50 + 10 = 60秒である。

上り列車の長さ + トンネルの長さ = 上り列車の秒速 * 時間 = $18 \text{ m/s} \times 60 \text{ s} = 1080 \text{ m}$

下り列車の長さ + トンネルの長さ = 下り列車の秒速 * 時間

下り列車の時速は86.4kmなので、秒速に変換する。

$86.4 \text{ km/h} = 86400 \text{ m/h} = \frac{86400}{3600} \text{ m/s} = 24 \text{ m/s}$

下り列車の長さ + トンネルの長さ = $24 \text{ m/s} \times 50 \text{ s} = 1200 \text{ m}$

上り列車の長さは、車両4両分の長さなので、4 * 1両の長さとなる。

下り列車の長さは、車両10両分の長さなので、10 * 1両の長さとなる。

1両の長さを $x$ とすると、

$4x + \text{トンネルの長さ} = 1080$

$10x + \text{トンネルの長さ} = 1200$

2つの式を引き算すると

$6x = 120 \implies x = 20$

(3) 両列車の先頭が出会うまでの時間を求める。

トンネルに進入してから $t$ 秒後に出会うとする。

上り列車が進んだ距離 + 下り列車が進んだ距離 = トンネルの長さ

トンネルの長さ = $1080 - 4x = 1080 - 4 \times 20 = 1080 - 80 = 1000 \text{ m}$

$18t + 24t = 1000$

$42t = 1000$

$t = \frac{1000}{42} = \frac{500}{21} \approx 23.8$

3. 最終的な答え

(1) 18 m/s

(2) 20 m

(3) 500/21 秒後 (約23.8秒後)