Aさんと弟が自宅から学校へ歩いて通っている。Aさんは忘れ物に気づき自宅に戻り、再び学校へ向かった。グラフは、Aさんが出発してからの時間 $x$ 分と家からの距離 $y$ mの関係を表している。 (1) Aさんが忘れ物に気づくまでの速さを求める。 (2) 指定された $x$ の範囲における直線の式を求める。 (3) Aさんの弟が出発後、Aさんが弟に追いつくまでの時間を求める。

1. 問題の内容

Aさんと弟が自宅から学校へ歩いて通っている。Aさんは忘れ物に気づき自宅に戻り、再び学校へ向かった。グラフは、Aさんが出発してからの時間 $x$ 分と家からの距離 $y$ mの関係を表している。

(1) Aさんが忘れ物に気づくまでの速さを求める。

(2) 指定された $x$ の範囲における直線の式を求める。

(3) Aさんの弟が出発後、Aさんが弟に追いつくまでの時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 忘れ物に気づくまでの時間は6分で、その時の距離は480mである。

速さ = 距離 / 時間 なので、速さは $480 / 6 = 80$ m/分。

(2) 直線の式を $y=ax+b$ の形で求める。

① $0 \le x \le 6$: 原点を通るので $b=0$。点 $(6, 480)$ を通るので $480 = 6a$。よって $a = 80$。直線の式は $y = 80x$。

② $6 \le x \le 10$: 点 $(6, 480)$ と $(10, 0)$ を通る。傾き $a = (0-480) / (10-6) = -480 / 4 = -120$。 $y = -120x + b$ に $(10, 0)$ を代入すると $0 = -1200 + b$。よって $b = 1200$。直線の式は $y = -120x + 1200$。

③ $10 \le x \le 15$: 距離は0なので、 $y = 0$。

④ $15 \le x \le 27$: 点 $(15, 0)$ と $(27, 1200)$ を通る。傾き $a = (1200-0) / (27-15) = 1200 / 12 = 100$。 $y = 100x + b$ に $(15, 0)$ を代入すると $0 = 1500 + b$。よって $b = -1500$。直線の式は $y = 100x - 1500$。

(3) 弟はAさんが最初に出発してから13分後に出発し、速さは80m/分である。Aさんが弟に追いつく時間を $t$ 分後とする（Aさんが出発してから）。

弟が出発するのは13分後なので、弟が歩いた時間は $(t - 13)$ 分である。

弟の家からの距離は $80(t - 13)$。

Aさんが弟に追いつくのは、Aさんが家に戻って再び学校に向かっている時なので、$15 \le t \le 27$ の範囲である。

その時のAさんの家からの距離は $100t - 1500$。

Aさんと弟の家からの距離が等しくなる時なので、

$80(t - 13) = 100t - 1500$

$80t - 1040 = 100t - 1500$

$20t = 460$

$t = 23$

3. 最終的な答え

(1) 分速80m

(2) ① $y = 80x$

② $y = -120x + 1200$

③ $y = 0$

④ $y = 100x - 1500$

(3) 23分後