彩さんが午後5時に自宅を出発し、小売店B, Cを経由して午後5時42分に自宅に戻るまでの移動をグラフに表し、その後、自宅に戻る途中で健さんに追い抜かれた地点の自宅からの距離を求める問題です。彩さんの移動に関する情報は以下の通りです。 * 出発時刻: 午後5時 * 自宅から小売店Bまでの距離: 400m * 小売店Bでの買い物時間: 10分 * 小売店Bから小売店Cまでの距離: 400m * 小売店Cでの買い物時間: 12分 * 自宅に戻る時刻: 午後5時42分 * 歩く速さ: 分速80m

1. 問題の内容

彩さんが午後5時に自宅を出発し、小売店B, Cを経由して午後5時42分に自宅に戻るまでの移動をグラフに表し、その後、自宅に戻る途中で健さんに追い抜かれた地点の自宅からの距離を求める問題です。彩さんの移動に関する情報は以下の通りです。

* 出発時刻: 午後5時

* 自宅から小売店Bまでの距離: 400m

* 小売店Bでの買い物時間: 10分

* 小売店Bから小売店Cまでの距離: 400m

* 小売店Cでの買い物時間: 12分

* 自宅に戻る時刻: 午後5時42分

* 歩く速さ: 分速80m

2. 解き方の手順

(1) 彩さんの移動をグラフに表す。

* **自宅から小売店Bまで:**

* 距離: 400m

* 速さ: 分速80m

* 時間: $400m / 80m/分 = 5分$

* したがって、午後5時0分に出発し、午後5時5分に小売店Bに到着する。グラフでは、(0, 0)から(5, 400)を結ぶ直線となる。

* **小売店Bでの買い物:**

* 時間: 10分

* 小売店Bに留まるので、距離は変化しない。

* したがって、午後5時5分から午後5時15分まで、400mの地点に留まる。グラフでは、(5, 400)から(15, 400)を結ぶ水平な直線となる。

* **小売店Bから小売店Cまで:**

* 距離: 400m

* 速さ: 分速80m

* 時間: $400m / 80m/分 = 5分$

* 小売店Bから小売店Cまでの距離は400mなので、自宅からの距離は800m。

* したがって、午後5時15分に出発し、午後5時20分に小売店Cに到着する。グラフでは、(15, 400)から(20, 800)を結ぶ直線となる。

* **小売店Cでの買い物:**

* 時間: 12分

* 小売店Cに留まるので、距離は変化しない。

* したがって、午後5時20分から午後5時32分まで、800mの地点に留まる。グラフでは、(20, 800)から(32, 800)を結ぶ水平な直線となる。

* **小売店Cから自宅まで:**

* 距離: 800m

* 速さ: 分速80m

* 時間: $800m / 80m/分 = 10分$

* したがって、午後5時32分に出発し、午後5時42分に自宅に到着する。グラフでは、(32, 800)から(42, 0)を結ぶ直線となる。

(2) 彩さんが健さんに抜かれた地点の自宅からの距離を求める。

問題文のグラフから、健さんが35分～42分の間に家に帰っていることがわかります。つまり、彩さんが健さんに追い抜かれたのは、この時間帯です。彩さんのグラフと健さんのグラフの交点を求めれば良い。

彩さんの帰宅時のグラフは(32, 800)から(42, 0)を結ぶ直線です。

この直線の式を求めます。

$y = a x + b$の形とすると、

$800 = 32 a + b$

$0 = 42 a + b$

2つの式を引き算して、$800 = -10 a$より、$a = -80$

$b = -42 a = 3360$

よって彩さんの帰宅時のグラフは、$y = -80 x + 3360$

健さんの帰宅時のグラフは(35, 1200)から(42, 0)を結ぶ直線です。

この直線の式を求めます。

$y = a x + b$の形とすると、

$1200 = 35 a + b$

$0 = 42 a + b$

2つの式を引き算して、$1200 = -7 a$より、$a = -1200/7$

$b = -42 a = 42 * 1200/7 = 6 * 1200 = 7200$

よって健さんの帰宅時のグラフは、$y = -1200/7 x + 7200$

交点を求めるために、2つの式を連立します。

$-80 x + 3360 = -1200/7 x + 7200$

$-560 x + 23520 = -1200 x + 50400$

$640 x = 26880$

$x = 26880 / 640 = 42$

$x = 42$の時、$y = 0$なので、彩さんが健さんに追い抜かれたのは自宅です。

これは、健さんが家に帰ってきたときに彩さんと会ったことを意味します。

問題文より、健さんは彩さんが自宅へ戻る途中で追い抜いたと書かれているので、これは答えではありません。

グラフを注意深く見ると、健さんが小売店Cで買い物をして帰る途中で、彩さんを追い抜いています。この地点を求める必要があります。

健さんの小売店Cから自宅へのグラフの式は、$y = -1200/7 x + 7200$

彩さんの小売店Cから自宅へのグラフの式は、$y = -80 x + 3360$

この2つの式が交わるのは、$x = 42$ の時なので、他に追い抜かれる地点はありません。

グラフを読むと、35分より前に2人は会っているはずなので、グラフから読み取るしかありません。グラフから読み取ると、約37分に2人は出会っているように見えるので、

$y = -80 * 37 + 3360 = 400$

自宅から400m地点で追い抜かれたと考えられます。

3. 最終的な答え

(1) 彩さんのグラフは上記参照。

(2) 400m