問題文は「微分可能な関数は連続関数ですか？」です。これは、微分可能性と連続性の関係について問うています。

1. 問題の内容

問題文は「微分可能な関数は連続関数ですか？」です。これは、微分可能性と連続性の関係について問うています。

2. 解き方の手順

微分可能な関数が連続関数であるかどうかを考えるには、微分可能性の定義と連続性の定義を理解する必要があります。

関数 $f(x)$ が点 $x = a$ で微分可能であるとは、極限

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

が存在することです。

一方、関数 $f(x)$ が点 $x = a$ で連続であるとは、以下の3つの条件が成り立つことです。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

微分可能な関数が連続関数であることは、定理として知られています。つまり、ある点で微分可能であれば、その点で必ず連続です。

なぜなら、もし関数 $f(x)$ が $x = a$ で微分可能であれば、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立ちます。

証明:

$f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a} (x-a)$

$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \lim_{x \to a} (x-a) = f'(a) \cdot 0 = 0$

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

したがって、$f(x)$ は $x = a$ で連続です。

3. 最終的な答え

はい、微分可能な関数は連続関数です。