問題は、以下の3つのパートから構成されています。 (1) 3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、$a$ の値を求めます。 (2) (1)で求めた $a$ の値を用いて、与えられた3次方程式の $x=1$ 以外の2つの解を求めます。 (3) 3次方程式 $x^3 - 4x^2 + bx + c = 0$ が、(2)で求めた2つの解をいずれも解に持つとき、$b$ と $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つのパートから構成されています。

(1) 3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、$a$ の値を求めます。

(2) (1)で求めた $a$ の値を用いて、与えられた3次方程式の $x=1$ 以外の2つの解を求めます。

(3) 3次方程式 $x^3 - 4x^2 + bx + c = 0$ が、(2)で求めた2つの解をいずれも解に持つとき、$b$ と $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ が $x^3 - 3x^2 + ax - 5 = 0$ の解であることから、$x=1$ を代入して $a$ を求めます。

$1^3 - 3(1)^2 + a(1) - 5 = 0$

$1 - 3 + a - 5 = 0$

$a - 7 = 0$

$a = 7$

(2) $a=7$ を元の3次方程式に代入すると、$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = 0$ となります。$x=1$ を解に持つことがわかっているので、因数定理より $(x-1)$ を因数に持ちます。組立除法または筆算によって $x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ を $(x-1)$ で割ると、$x^2 - 2x + 5$ となります。

したがって、$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = (x-1)(x^2 - 2x + 5) = 0$ となります。

$x=1$ 以外の解は、$x^2 - 2x + 5 = 0$ の解となります。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

(3) $x^3 - 4x^2 + bx + c = 0$ が $1 + 2i$ と $1 - 2i$ を解に持つので、解と係数の関係から、$x^3 - 4x^2 + bx + c = (x - \alpha)(x - (1+2i))(x - (1-2i))$ と表すことができます。ここで、$\alpha$ は実数です。

$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = (x-1-2i)(x-1+2i) = (x-1)^2 - (2i)^2 = x^2 - 2x + 1 - (-4) = x^2 - 2x + 5$

したがって、$x^3 - 4x^2 + bx + c = (x-\alpha)(x^2 - 2x + 5) = x^3 - 2x^2 + 5x - \alpha x^2 + 2\alpha x - 5\alpha = x^3 - (2+\alpha)x^2 + (5+2\alpha)x - 5\alpha$

係数を比較すると、

$4 = 2 + \alpha$

$b = 5 + 2\alpha$

$c = -5\alpha$

$\alpha = 2$

$b = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9$

$c = -5(2) = -10$

3. 最終的な答え

(1) $a = 7$

(2) $x = 1 \pm 2i$

(3) $b = 9$, $c = -10$