20人の生徒の数学の得点Xと英語の得点Yのデータが与えられています。それぞれの得点と人数が表で与えられており、平均値と分散がまとめられた表もあります。 (1) 数学の得点Xの平均値Aを求めます。 (2) 英語の得点Yの分散Bを求めます。 (3) XとYの共分散が1.0であるとき、XとYの相関係数を求めます。

1. 問題の内容

20人の生徒の数学の得点Xと英語の得点Yのデータが与えられています。それぞれの得点と人数が表で与えられており、平均値と分散がまとめられた表もあります。

(1) 数学の得点Xの平均値Aを求めます。

(2) 英語の得点Yの分散Bを求めます。

(3) XとYの共分散が1.0であるとき、XとYの相関係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 数学の得点の平均値Aを求める。

平均値は、各得点に人数を掛けたものを合計し、総人数で割ることで求められます。

$A = \frac{3 \times 2 + 4 \times 5 + 5 \times 8 + 6 \times 2 + 7 \times 2 + 8 \times 1}{20}$

$A = \frac{6 + 20 + 40 + 12 + 14 + 8}{20} = \frac{100}{20} = 5$

(2) 英語の得点の分散Bを求める。

まず、英語の得点Yの平均値は6.0と与えられています。

分散は、各得点から平均値を引いたものの2乗に人数を掛けたものを合計し、総人数で割ることで求められます。

$B = \frac{(3-6)^2 \times 1 + (4-6)^2 \times 2 + (5-6)^2 \times 2 + (6-6)^2 \times 8 + (7-6)^2 \times 5 + (8-6)^2 \times 2}{20}$

$B = \frac{(-3)^2 \times 1 + (-2)^2 \times 2 + (-1)^2 \times 2 + 0^2 \times 8 + 1^2 \times 5 + 2^2 \times 2}{20}$

$B = \frac{9 + 8 + 2 + 0 + 5 + 8}{20} = \frac{32}{20} = 1.6$

(3) XとYの相関係数を求める。

相関係数は、共分散をXとYの標準偏差の積で割ることで求められます。

$相関係数 = \frac{共分散}{\sqrt{Xの分散} \times \sqrt{Yの分散}}$

Xの分散は1.6、Yの分散は1.6、共分散は1.0と与えられています。

$相関係数 = \frac{1.0}{\sqrt{1.6} \times \sqrt{1.6}} = \frac{1.0}{1.6} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0.625$

3. 最終的な答え

(1) 数学の得点の平均値Aは 5 である。

(2) 英語の得点の分散Bは 1.6 である。

(3) XとYの相関係数は 0.625 である。