与えられた三角柱ABCDEFについて、以下の2つの問いに答える。 (1) 三角柱ABCDEFの表面積を求める。 (2) 頂点Aから辺DEを通って頂点Fまで、ひもの長さが最も短くなるようにかけたとき、そのひもと辺DEとの交点をGとする。このとき、C,G,E,Fを頂点とする三角錐の体積を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角柱ABCDEFについて、以下の2つの問いに答える。

(1) 三角柱ABCDEFの表面積を求める。

(2) 頂点Aから辺DEを通って頂点Fまで、ひもの長さが最も短くなるようにかけたとき、そのひもと辺DEとの交点をGとする。このとき、C,G,E,Fを頂点とする三角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱ABCDEFの表面積を求める。

三角柱の表面積は、2つの底面(直角三角形ABC,DEF)の面積と、3つの側面(長方形ABED,BCFE,CAFD)の面積の和で求められる。

・底面の面積：$AB \times BC \div 2 = 6 \times 8 \div 2 = 24$。底面は2つあるので、$24 \times 2 = 48$。

・側面積：

$ABED = AB \times AD = 6 \times 4 = 24$

$BCFE = BC \times AD = 8 \times 4 = 32$

$CAFD = CA \times AD = 10 \times 4 = 40$

したがって、三角柱ABCDEFの表面積は、$48+24+32+40=144$。

(2) C,G,E,Fを頂点とする三角錐の体積を求める。

AからDEを通ってFまでひもをかけるとき、その長さが最も短くなるのは、展開図上でAとFを結ぶ直線になる時である。

展開図を考えると、AGの長さ:GFの長さ = ABの長さ:BCの長さ = 6:8 = 3:4となる。

DE = AB = 6なので、DG = DE × (AG/(AG+GF)) = 6 × (3/7) = 18/7

GE = DE - DG = 6 - 18/7 = 42/7 - 18/7 = 24/7

三角錐CGEFの体積は、底面を三角形GEF、高さをBCとみなせる。

したがって、体積 = (1/3) × 三角形GEFの面積 × BC

三角形GEFの面積 = (1/2) × GE × DE = (1/2) × (24/7) × 4 = 48/7

体積 = (1/3) × (48/7) × 8 = 384/21 = 128/7

128/7 は帯分数にすると 18と2/7。

3. 最終的な答え

(1) 三角柱ABCDEFの表面積は 144 cm²

(2) 三角錐CGEFの体積は 128/7 cm³