分数関数 $y = \frac{x+2}{x-1}$ と直線 $y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ の交点をすべて求める。

1. 問題の内容

分数関数 $y = \frac{x+2}{x-1}$ と直線 $y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ の交点をすべて求める。

2. 解き方の手順

交点を求めるには、2つの式を連立させて解きます。つまり、$y$ を消去して、$x$ について解きます。

$\frac{x+2}{x-1} = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$

両辺に $x-1$ を掛けて、

$x+2 = (-2x + 3 + 2\sqrt{6})(x-1)$

$x+2 = -2x^2 + 2x + 3x - 3 + 2\sqrt{6}x - 2\sqrt{6}$

$x+2 = -2x^2 + 5x + 2\sqrt{6}x - 3 - 2\sqrt{6}$

$2x^2 - 4x - 2\sqrt{6}x + 5 + 2\sqrt{6} = 0$

$2x^2 - (4+2\sqrt{6})x + (5+2\sqrt{6}) = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 2$, $b = -(4+2\sqrt{6})$, $c = 5+2\sqrt{6}$ です。

$b^2 = (4+2\sqrt{6})^2 = 16 + 16\sqrt{6} + 24 = 40 + 16\sqrt{6}$

$4ac = 4 \cdot 2 \cdot (5+2\sqrt{6}) = 8(5+2\sqrt{6}) = 40 + 16\sqrt{6}$

$b^2 - 4ac = (40 + 16\sqrt{6}) - (40 + 16\sqrt{6}) = 0$

したがって、

$x = \frac{4+2\sqrt{6}}{4} = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$

$y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ に $x = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$ を代入して $y$ を求めます。

$y = -2 \cdot \frac{2+\sqrt{6}}{2} + 3 + 2\sqrt{6}$

$y = -2 - \sqrt{6} + 3 + 2\sqrt{6}$

$y = 1 + \sqrt{6}$

よって、交点は $(\frac{2+\sqrt{6}}{2}, 1+\sqrt{6})$

3. 最終的な答え

$(\frac{2+\sqrt{6}}{2}, 1+\sqrt{6})$