放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a = 1$ のとき、2つのグラフの共有点の座標を求めます。 (2) 2つのグラフの共有点がただ1つであるように、定数 $a$ の値を求めます。 (3) 2つのグラフが共有点をもたないように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a = 1$ のとき、2つのグラフの共有点の座標を求めます。

(2) 2つのグラフの共有点がただ1つであるように、定数 $a$ の値を求めます。

(3) 2つのグラフが共有点をもたないように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、直線は $y = 2x - 1$ となります。放物線と直線の交点を求めるには、$y$ を消去して $x$ についての方程式を解きます。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

よって、$x = 1, 4$ です。これらの $x$ の値を $y = 2x - 1$ に代入すると、$x = 1$ のとき $y = 2(1) - 1 = 1$、$x = 4$ のとき $y = 2(4) - 1 = 7$ となります。したがって、共有点の座標は $(1, 1)$ と $(4, 7)$ です。

(2) 放物線と直線の共有点がただ1つである条件は、$x$ についての方程式 $x^2 - 3x + 3 = 2x - a$ が重解を持つことです。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - a$

$x^2 - 5x + 3 + a = 0$

この方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

$D = (-5)^2 - 4(1)(3 + a) = 25 - 12 - 4a = 13 - 4a = 0$

したがって、$4a = 13$ より、$a = \frac{13}{4}$ です。

(3) 放物線と直線が共有点を持たない条件は、$x$ についての方程式 $x^2 - 3x + 3 = 2x - a$ が実数解を持たないことです。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - a$

$x^2 - 5x + 3 + a = 0$

この方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

$D = (-5)^2 - 4(1)(3 + a) = 25 - 12 - 4a = 13 - 4a < 0$

したがって、$4a > 13$ より、$a > \frac{13}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標: $(1, 1)$, $(4, 7)$

(2) $a = \frac{13}{4}$

(3) $a > \frac{13}{4}$