問題4は、x, yが実数であるとして、与えられた条件が他の条件に対してどのような関係にあるか（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）を判断する問題です。具体的には、以下の6つの条件について考えます。 (1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための (2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための (3) $xy = 1$ は $x = 1$ であるための (4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための (5) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - 2 = 2$ であるための (6) 四角形ABCDがひし形であることは、四角形ABCDが正方形であるための 選択肢は以下の通りです。 (ア) 必要条件であるが十分条件でない (イ) 十分条件であるが必要条件でない (ウ) 必要十分条件である (エ) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

問題4は、x, yが実数であるとして、与えられた条件が他の条件に対してどのような関係にあるか（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）を判断する問題です。具体的には、以下の6つの条件について考えます。

(1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための

(2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための

(3) $xy = 1$ は $x = 1$ であるための

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための

(5) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - 2 = 2$ であるための

(6) 四角形ABCDがひし形であることは、四角形ABCDが正方形であるための

選択肢は以下の通りです。

(ア) 必要条件であるが十分条件でない

(イ) 十分条件であるが必要条件でない

(ウ) 必要十分条件である

(エ) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ は $x^2-5x+6=0$ であるための

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$ より、$x=2$または$x=3$。したがって、$x=2$ならば$x^2-5x+6=0$が成り立つ(十分条件)。しかし、$x^2-5x+6=0$ならば$x=2$とは限らない(必要条件ではない)。

答え：(イ)

(2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための

$(x-1)(x-2) = 0$ ならば $x=1$または$x=2$。$x \neq 0$ は常に成り立つ。したがって、$(x-1)(x-2) = 0$ ならば $x \neq 0$ (十分条件)。しかし、$x \neq 0$ ならば $(x-1)(x-2) = 0$ とは限らない（必要条件ではない）。

答え：(イ)

(3) $xy = 1$ は $x = 1$ であるための

$x=1$ならば、$y=1$のとき、$xy=1$となる(十分条件とはいえない)。$xy=1$のとき、$x=\frac{1}{y}$なので、$x=1$とは限らない（必要条件ではない）。例えば、$x=2$, $y=\frac{1}{2}$でも$xy=1$となる。

答え：(ア)

(4) $|x| = 0$ は $x = 0$ であるための

$|x| = 0$ ならば $x = 0$ であり、$x=0$ ならば $|x| = 0$ である。

答え：(ウ)

(5) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - 2 = 2$ であるための

$2y - 2 = 2$ より $2y = 4$ なので $y = 2$。

$2x - y = 2$ に $y = 2$ を代入すると、$2x - 2 = 2$ より $2x = 4$ なので $x = 2$。

したがって、$x = y = 2$ ならば $2x - y = 2y - 2 = 2$ が成り立つ。

逆に、$2x - y = 2y - 2 = 2$ が成り立つならば、$x = y = 2$ である。

答え：(ウ)

(6) 四角形ABCDがひし形であることは、四角形ABCDが正方形であるための

正方形ならばひし形である(十分条件)。しかし、ひし形ならば正方形とは限らない(必要条件ではない)。

答え：(イ)

3. 最終的な答え

(1) (イ)

(2) (イ)

(3) (ア)

(4) (ウ)

(5) (ウ)

(6) (イ)