「連続関数の定義とはなんですか」という質問です。

1. 問題の内容

「連続関数の定義とはなんですか」という質問です。

2. 解き方の手順

連続関数の定義はいくつかありますが、ここでは最も一般的な定義を説明します。

ある点 $x=a$ で関数 $f(x)$ が連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることです。

(1) $f(a)$ が定義されている。つまり、$x=a$ において関数 $f(x)$ の値が存在する。

(2) 極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。つまり、$x$ が $a$ に近づくとき、$f(x)$ はある値に収束する。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。つまり、$x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値が、$f(a)$ の値と一致する。

関数 $f(x)$ が定義域内のすべての点で連続であるとき、$f(x)$ は連続関数であるといいます。

3. 最終的な答え

ある点 $x=a$ で関数 $f(x)$ が連続であるとは、

(1) $f(a)$ が定義されている、

(2) 極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する、

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことです。

関数 $f(x)$ が定義域内のすべての点で連続であるとき、$f(x)$ は連続関数であるといいます。