2次方程式 $x^2 + (m-3)x + 1 = 0$ が重解を持つように定数 $m$ の範囲を求め、そのときの解も求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m-3)x + 1 = 0$ が重解を持つように定数 $m$ の範囲を求め、そのときの解も求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の場合、$a = 1$, $b = m - 3$, $c = 1$ なので、判別式 $D$ は

$D = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (m-3)^2 - 4$

となります。

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$(m-3)^2 - 4 = 0$

$(m-3)^2 = 4$

$m - 3 = \pm 2$

$m = 3 \pm 2$

よって、$m = 5$ または $m = 1$

$m = 5$ のとき、2次方程式は $x^2 + (5-3)x + 1 = 0$ となり、$x^2 + 2x + 1 = 0$ となります。

$(x+1)^2 = 0$ より、$x = -1$

$m = 1$ のとき、2次方程式は $x^2 + (1-3)x + 1 = 0$ となり、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となります。

$(x-1)^2 = 0$ より、$x = 1$

3. 最終的な答え

$m = 5$ のとき、重解は $x = -1$

$m = 1$ のとき、重解は $x = 1$