二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ について、以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる。

はい、承知しました。二次方程式の問題を解きます。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ について、以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる。

2. 解き方の手順

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる場合

二次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ とおきます。$f(x)=0$ が $x$ 軸の正の部分で異なる2つの実数解を持つための条件は、以下の3つを満たすことです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $> 0$

(iii) $f(0) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$ について

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-2a + 3) = 4a^2 + 8a - 12 > 0$

$a^2 + 2a - 3 > 0$

$(a + 3)(a - 1) > 0$

よって、$a < -3$ または $a > 1$

(ii) 軸の位置 $> 0$ について

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 - 2a + 3$ より、軸は $x = a$ であるから、$a > 0$

(iii) $f(0) > 0$ について

$f(0) = 0^2 - 2a(0) - 2a + 3 = -2a + 3 > 0$

$2a < 3$

$a < \frac{3}{2}$

(i), (ii), (iii) をすべて満たす $a$ の範囲は、$1 < a < \frac{3}{2}$ となります。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる場合

二次方程式 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が $x$ 軸の負の部分で異なる2つの実数解を持つための条件は、以下の3つを満たすことです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $< 0$

(iii) $f(0) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$ については、(1)と同じなので、$a < -3$ または $a > 1$

(ii) 軸の位置 $< 0$ について

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 - 2a + 3$ より、軸は $x = a$ であるから、$a < 0$

(iii) $f(0) > 0$ について

$f(0) = 0^2 - 2a(0) - 2a + 3 = -2a + 3 > 0$

$2a < 3$

$a < \frac{3}{2}$

(i), (ii), (iii) をすべて満たす $a$ の範囲は、$a < -3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $a < -3$