問題1は、2次関数 $y = -3x^2 + 6x - 8$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。 問題2は、長さ8cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作るとき、2つの正方形の面積の和が最小になるように針金を切る方法とその最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、2次関数 $y = -3x^2 + 6x - 8$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。

問題2は、長さ8cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作るとき、2つの正方形の面積の和が最小になるように針金を切る方法とその最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

* $y = -3x^2 + 6x - 8$ を平方完成します。

$y = -3(x^2 - 2x) - 8$

$y = -3\{(x - 1)^2 - 1\} - 8$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 - 8$

$y = -3(x - 1)^2 - 5$

* 軸は $x = 1$、頂点は $(1, -5)$ となります。

問題2：

* 一方の正方形の一辺の長さを $x$ cmとすると、針金の長さは $4x$ cmです。もう一方の正方形の針金の長さは $8-4x$ cmなので、一辺の長さは $\frac{8-4x}{4} = 2-x$ cmです。よって、9には 2 が入ります。

* 2つの正方形の面積の和 $S$ は、

$S = x^2 + (2 - x)^2$

$S = x^2 + (4 - 4x + x^2)$

$S = 2x^2 - 4x + 4$

* $S = 2(x^2 - 2x) + 4$

$S = 2\{(x - 1)^2 - 1\} + 4$

$S = 2(x - 1)^2 - 2 + 4$

$S = 2(x - 1)^2 + 2$

* $S$ は $x = 1$ のとき最小値 2 をとります。

したがって、10 には 2, 11 には 4, 12 には 4, 13 には 2, 14 には 1, 15 には 2が入ります。

* $x = 1$ のとき、$4x = 4$ cm、$8 - 4x = 4$ cmとなります。よって、針金を4cmと4cmに切るとき、面積の和は最小値 $2 \text{ cm}^2$ となります。

したがって、16 には 1, 17 には 2, 18 には 4 が入ります。

3. 最終的な答え

問題1：

軸: $x = 1$

頂点: $(1, -5)$

問題2：

9: 2

10: 2

11: 4

12: 4

13: 2

14: 1

15: 2

16: 1

17: 2

18: 4

針金を 4 cmと 4 cmに切るとき、2つの正方形の面積の和は最小値 $2 \text{ cm}^2$ となります。