台形ABCDがあり、AB = 2cm, BC = 4cm, CD = 5cm, AD = 3cmです。 (1) この台形をABを軸として回転させた立体Pの体積は、CDを軸として回転させた立体Qの体積の何倍か。 (2) 立体Pの表面積と立体Qの表面積では、どちらが何cm²大きいか。

はい、承知いたしました。それでは、問題の回答を作成します。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、AB = 2cm, BC = 4cm, CD = 5cm, AD = 3cmです。

(1) この台形をABを軸として回転させた立体Pの体積は、CDを軸として回転させた立体Qの体積の何倍か。

(2) 立体Pの表面積と立体Qの表面積では、どちらが何cm²大きいか。

2. 解き方の手順

(1) 立体Pの体積

立体Pは、半径4cm、高さ2cmの円柱と、半径4cm、高さ3cmの円錐を組み合わせた形になります。

円柱の体積は $V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 2 = 32\pi$ cm³

円錐の体積は $V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 = 16\pi$ cm³

よって、立体Pの体積 $V_P = V_{円柱} + V_{円錐} = 32\pi + 16\pi = 48\pi$ cm³

(2) 立体Qの体積

立体Qは、半径2cm、高さ4cmの円柱と、半径5cm、高さ4cmの円柱を組み合わせた立体から、半径2cm、高さ4cmの円柱を取り除いた形になります。立体Qは、半径2cm, 高さ4cmの円柱と、半径3cm、高さ4cmの円錐を組み合わせた形となります。

円柱の体積は $V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 4 = 16\pi$ cm³

円錐の体積は $V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ cm³

よって、立体Qの体積 $V_Q = V_{円柱} + V_{円錐} = 16\pi + 12\pi = 28\pi$ cm³

立体Pの体積は立体Qの体積の何倍か：$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{48\pi}{28\pi} = \frac{12}{7}$倍

(3) 立体Pの表面積

円柱の側面は $2\pi r h = 2 \pi \times 4 \times 2 = 16\pi$ cm²

円柱の底面は $\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm²

円錐の側面は $\pi r l = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi$ cm²

(母線$l$は、三平方の定理より$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$)

よって、立体Pの表面積 $S_P = 16\pi + 16\pi + 20\pi = 52\pi$ cm²

(4) 立体Qの表面積

円柱の側面は $2\pi r h = 2 \pi \times 2 \times 4 = 16\pi$ cm²

円柱の底面は $\pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$ cm²

円錐の側面は $\pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm²

(母線$l$は、三平方の定理より$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$)

よって、立体Qの表面積 $S_Q = 16\pi + 4\pi + 15\pi = 35\pi$ cm²

表面積の差は $S_P - S_Q = 52\pi - 35\pi = 17\pi$ cm²

$17 \pi \approx 17 \times 3.14 = 53.38$ cm²

3. 最終的な答え

(1) 立体Pの体積は、立体Qの体積の $\frac{12}{7}$ 倍です。

(2) 立体Pの表面積が、立体Qの表面積より $17\pi$ cm² (約53.38cm²) 大きいです。