整式 $A = x^2 + 4x - 5$ と整式 $B$ があり、それらの最大公約数が $x-1$ で、最小公倍数が $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ であるとき、整式 $B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $A = x^2 + 4x - 5$ と整式 $B$ があり、それらの最大公約数が $x-1$ で、最小公倍数が $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ であるとき、整式 $B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、整式 $A$ を因数分解します。

$A = x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$

次に、与えられた最小公倍数 $L$ を因数分解します。$L = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$

$x-1$ で割り切れることがわかっているので、$x-1$で割ります。

$x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = (x-1)(x^2 + 3x - 10) = (x-1)(x+5)(x-2)$

最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とすると、$A \times B = G \times L$ が成り立ちます。

したがって、$B = \frac{G \times L}{A}$ となります。

$G = x-1$、$L = (x-1)(x+5)(x-2)$、$A = (x-1)(x+5)$ を代入すると、

$B = \frac{(x-1) \times (x-1)(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+5)} = (x-1)(x-2)$

よって、$B = x^2 - 3x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 3x + 2$