放物線 $y = 2x^2 - 2x - 4$ （①）と $y = -x^2 + ax + b$ （②）について考える問題です。 (1) 放物線①とx軸の交点を$(\alpha, 0)$, $(\beta, 0)$ とするとき、放物線②が$(\alpha, 0)$, $(\beta, 0)$を通る場合の$a$と$b$の値と放物線②の頂点座標を求めます。 (2) 放物線②が$(\alpha, 0)$もしくは$(\beta, 0)$のいずれかを通り、さらに放物線①のグラフの頂点座標を通る場合、放物線②の頂点座標を求めます。 (3) $b = a^2 + 1$のとき、放物線②が$\alpha < x < \beta$の範囲内においてx軸との交点を1つ持つような$a$の範囲を求めます。

はい、この数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 2x - 4$ （①）と $y = -x^2 + ax + b$ （②）について考える問題です。

(1) 放物線①とx軸の交点を$(\alpha, 0)$, $(\beta, 0)$ とするとき、放物線②が$(\alpha, 0)$, $(\beta, 0)$を通る場合の$a$と$b$の値と放物線②の頂点座標を求めます。

(2) 放物線②が$(\alpha, 0)$もしくは$(\beta, 0)$のいずれかを通り、さらに放物線①のグラフの頂点座標を通る場合、放物線②の頂点座標を求めます。

(3) $b = a^2 + 1$のとき、放物線②が$\alpha < x < \beta$の範囲内においてx軸との交点を1つ持つような$a$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線①とx軸の交点を求めます。

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、$x = 2, -1$ なので、$\alpha = -1, \beta = 2$となります。

放物線②が$(-1, 0), (2, 0)$を通る場合、

$y = -x^2 + ax + b$に代入すると、

$0 = -(-1)^2 + a(-1) + b \Rightarrow 0 = -1 - a + b$

$0 = -(2)^2 + a(2) + b \Rightarrow 0 = -4 + 2a + b$

これらの連立方程式を解きます。

$-1 - a + b = 0$

$-4 + 2a + b = 0$

上の式から下の式を引くと、

$3 - 3a = 0$

$a = 1$

$b = 1 + a = 1 + 1 = 2$

よって、$a = 1, b = 2$

このとき、放物線②は$y = -x^2 + x + 2$

平方完成すると、$y = -(x^2 - x) + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、頂点座標は$(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$

(2)

放物線①の頂点座標を求めます。

$y = 2x^2 - 2x - 4 = 2(x^2 - x) - 4 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 4 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2}$

よって、頂点座標は$(\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$

(i) 放物線②が$(\alpha, 0) = (-1, 0)$と$(\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$を通る場合、

$0 = -(-1)^2 + a(-1) + b \Rightarrow 0 = -1 - a + b$

$-\frac{9}{2} = -(\frac{1}{2})^2 + a(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -\frac{9}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + b$

これらの連立方程式を解きます。

$-1 - a + b = 0$

$-\frac{9}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + b$

上の式から下の式を引くと、

$\frac{9}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{2}a$

$\frac{7}{2} = \frac{3}{4} + \frac{3}{2}a$

$\frac{14}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4}a$

$\frac{11}{4} = \frac{6}{4}a$

$a = \frac{11}{6}$

$b = 1 + a = 1 + \frac{11}{6} = \frac{17}{6}$

$y = -x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{17}{6} = -(x - \frac{11}{12})^2 + (\frac{11}{12})^2 + \frac{17}{6} = -(x - \frac{11}{12})^2 + \frac{121}{144} + \frac{408}{144} = -(x - \frac{11}{12})^2 + \frac{529}{144}$

頂点座標は$(\frac{11}{12}, \frac{529}{144})$

(ii) 放物線②が$(\beta, 0) = (2, 0)$と$(\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$を通る場合、

$0 = -(2)^2 + a(2) + b \Rightarrow 0 = -4 + 2a + b$

$-\frac{9}{2} = -(\frac{1}{2})^2 + a(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -\frac{9}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + b$

これらの連立方程式を解きます。

$-4 + 2a + b = 0$

$-\frac{9}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + b$

上の式から下の式を引くと、

$4 - \frac{9}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{2}a$

$-\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{2}a$

$-\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4}a$

$-\frac{3}{4} = \frac{6}{4}a$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 4 - 2a = 4 + 1 = 5$

$y = -x^2 - \frac{1}{2}x + 5 = -(x + \frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + 5 = -(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{16} + \frac{80}{16} = -(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{81}{16}$

頂点座標は$(-\frac{1}{4}, \frac{81}{16})$

$\frac{11}{12} > -\frac{1}{4}$なので、

$(\frac{11}{12}, \frac{529}{144}), (-\frac{1}{4}, \frac{81}{16})$

(3)

$b = a^2 + 1$のとき、放物線②は$y = -x^2 + ax + a^2 + 1$

$\alpha < x < \beta$ すなわち $-1 < x < 2$ の範囲でx軸との交点を一つ持つ条件を考えます。

まず、$f(x) = -x^2 + ax + a^2 + 1$とすると、$f(-1) f(2) < 0$となれば良いです。

$f(-1) = -1 - a + a^2 + 1 = a^2 - a$

$f(2) = -4 + 2a + a^2 + 1 = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1)$

$f(-1) f(2) = (a^2 - a)(a^2 + 2a - 3) = a(a-1)(a+3)(a-1) = a(a-1)^2(a+3) < 0$

$(a-1)^2 \geq 0$ なので、$a(a+3) < 0$ つまり $-3 < a < 0$

ただし、$a \neq 1$

$-3 < a \leq 0$を満たす

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = 2$, 頂点座標: $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$

(2) $(\frac{11}{12}, \frac{529}{144})$, $(-\frac{1}{4}, \frac{81}{16})$

(3) $-3 < a \leq 0$