与えられた事柄が命題であるかどうかを判断し、命題である場合はその真偽を述べる問題です。 (1) 23を3で割ると2余る。 (2) 二等辺三角形は正三角形である。 (3) 0.1は小さな数である。

## 問題1

1. **問題の内容**

与えられた事柄が命題であるかどうかを判断し、命題である場合はその真偽を述べる問題です。

(1) 23を3で割ると2余る。

(2) 二等辺三角形は正三角形である。

(3) 0.1は小さな数である。

2. **解き方の手順**

(1) 実際に23を3で割ってみて、余りが2になるかどうかを確認します。

(2) 二等辺三角形の定義と正三角形の定義を確認し、二等辺三角形が必ず正三角形であるかを検討します。反例があれば偽です。

(3) 「小さい」という言葉の定義が曖昧なので、命題であるかどうかを検討します。

3. **最終的な答え**

(1) 命題。23 ÷ 3 = 7 あまり 2なので、真。

(2) 命題。二等辺三角形は、2つの辺の長さが等しい三角形ですが、正三角形は3つの辺の長さが等しい三角形です。したがって、二等辺三角形が必ずしも正三角形であるとは限りません。反例として、2つの辺の長さが等しく、残りの1つの辺の長さが異なる二等辺三角形を挙げることができます。よって、偽。

(3) 命題ではない。「小さい」の定義が曖昧であるため、真偽を判断できない。

## 問題2

1. **問題の内容**

$a, b, x$ は実数、$n$は自然数とします。次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示します。

(1) $a = 0 \implies ab = 0$

(2) $a^2 - 3a = 0 \implies a = 3$

(3) $|x| > 1 \implies x \geq 1$

(4) $n$は2の倍数 $\implies n$は4の倍数

(5) $ac = bc \implies a = b$

2. **解き方の手順**

(1) $a = 0$ のとき、$ab$が常に0になるかどうかを検討します。

(2) $a^2 - 3a = 0$ を満たす $a$ の値をすべて求め、それが $a = 3$ のみかどうかを検討します。

(3) $|x| > 1$ を満たす $x$ の範囲を求め、$x \geq 1$ が成り立つかどうかを検討します。

(4) 2の倍数が必ず4の倍数であるかどうかを検討します。

(5) $ac = bc$ から $a = b$ が導けるかどうかを検討します。

3. **最終的な答え**

(1) 真。$a = 0$ ならば、$ab = 0$ は常に成り立ちます。

(2) 偽。$a^2 - 3a = 0$ は $a(a - 3) = 0$ と変形できるので、$a = 0, 3$ となります。反例として、$a = 0$ があります。

(3) 偽。$|x| > 1$ は $x > 1$ または $x < -1$ を意味します。したがって、$x < -1$ の場合、$x \geq 1$ は成り立ちません。反例として、$x = -2$ があります。

(4) 偽。例えば、$n = 2$ は2の倍数ですが、4の倍数ではありません。反例として、$n = 2$ があります。

(5) 偽。$c = 0$ の場合、$ac = bc$ であっても $a = b$ とは限りません。反例として、$a = 1, b = 2, c = 0$ があります。

## 問題3

1. **問題の内容**

$x, y$ は実数とします。次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示します。

(1) $\sqrt{(x-4)^2} = 4 \implies x = 0$

2. **解き方の手順**

$\sqrt{(x-4)^2} = 4$ を解き、$x = 0$ が成り立つかどうかを検討します。

3. **最終的な答え**

(1) 偽。$\sqrt{(x-4)^2} = |x-4| = 4$ より、$x-4 = 4$ または $x-4 = -4$。したがって、$x = 8$ または $x = 0$ となります。$x=8$のとき、$x=0$とならないため偽です。反例として、$x = 8$ があります。