与えられた等比数列 $ -7, 14, -28, 56, ... $ の一般項 $a_n$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $-7, 14, -28, 56, ...$ の一般項 $a_n$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

初項は $a = -7$ である。

公比は、$\frac{14}{-7} = -2$、$\frac{-28}{14} = -2$、$\frac{56}{-28} = -2$ より、$r = -2$ である。

等比数列の一般項は、$a_n = a \cdot r^{n-1}$ で表されるので、

$a_n = (-7) \cdot (-2)^{n-1}$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で表される。

$a = -7$、$r = -2$ を代入して、

$S_n = \frac{-7(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{-7(1-(-2)^n)}{3} = \frac{-7 + 7(-2)^n}{3} = \frac{7((-2)^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

一般項：$a_n = -7(-2)^{n-1}$

初項から第n項までの和：$S_n = \frac{7((-2)^n - 1)}{3}$