$p$ を素数、$r$ を正の整数とする。$(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^p$ を展開したときの単項式 $x_1^{p_1} x_2^{p_2} \dots x_r^{p_r}$ の係数を求める。ここで、$p_1, p_2, \dots, p_r$ は $0$ または正の整数で、$p_1 + p_2 + \dots + p_r = p$ を満たす。

1. 問題の内容

$p$ を素数、$r$ を正の整数とする。$(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^p$ を展開したときの単項式 $x_1^{p_1} x_2^{p_2} \dots x_r^{p_r}$ の係数を求める。ここで、$p_1, p_2, \dots, p_r$ は $0$ または正の整数で、$p_1 + p_2 + \dots + p_r = p$ を満たす。

2. 解き方の手順

多項定理より、$(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^p$ の展開における $x_1^{p_1} x_2^{p_2} \dots x_r^{p_r}$ の係数は、

$$\frac{p!}{p_1! p_2! \dots p_r!}$$

で与えられる。ここで、$p_1 + p_2 + \dots + p_r = p$ である。

$p$ は素数なので、$p!$ は $p$ で割り切れる。一方、$p_1! p_2! \dots p_r!$ が $p$ で割り切れるのは、$p_i = p$ となる $i$ が存在する場合のみである。なぜなら、もしすべての $p_i$ が $p$ より小さいとすると、$p_i < p$ であるすべての $p_i$ に対して、$p_i!$ は $p$ を素因数に持たないから、$p_1! p_2! \dots p_r!$ も $p$ を素因数に持たない。

$p_1 + p_2 + \dots + p_r = p$ であり、$p_i \geq 0$ であるから、$p_i = p$ となるのは、$p_i = p$ かつ他のすべての $p_j = 0$ ($j \neq i$) となる場合のみである。このとき、$x_1^{p_1} x_2^{p_2} \dots x_r^{p_r}$ は $x_i^p$ となる。このときの係数は $\frac{p!}{p!} = 1$ である。

そうでない場合、つまり少なくとも2つの $p_i$ が $0$ でない場合、$p_1! p_2! \dots p_r!$ は $p$ で割り切れない。したがって、$\frac{p!}{p_1! p_2! \dots p_r!}$ は $p$ で割り切れる。

$p! = p \cdot (p-1)!$ と考えると、

$$\frac{p!}{p_1! p_2! \dots p_r!} = \frac{p \cdot (p-1)!}{p_1! p_2! \dots p_r!}$$

この数は整数である。

また、$p_i < p$ であるとき、$p_i!$ は $p$ を素因数に含まないので、この数は $p$ で割り切れる。

したがって、求める係数は $\frac{p!}{p_1! p_2! \dots p_r!}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{p!}{p_1! p_2! \dots p_r!}$