10人の生徒の古文と漢文の小テストの点数が与えられた表をもとに、(1) 古文と漢文の得点の相関係数 $r$ を求める問題。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$とし、小数第3位を四捨五入すること。(2) (1)の結果から、古文と漢文の得点の間にどのような相関関係があるかを答える問題。

1. 問題の内容

10人の生徒の古文と漢文の小テストの点数が与えられた表をもとに、(1) 古文と漢文の得点の相関係数 $r$ を求める問題。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$とし、小数第3位を四捨五入すること。(2) (1)の結果から、古文と漢文の得点の間にどのような相関関係があるかを答える問題。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数 $r$ は、次の式で計算できます。

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

ここで、$x_i$ は古文の点数、$y_i$ は漢文の点数、$\bar{x}$ は古文の平均点、$\bar{y}$ は漢文の平均点、$n$ は生徒の数です。

まず、古文の平均点 $\bar{x}$ と漢文の平均点 $\bar{y}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{4+6+5+7+5+6+9+2+8+8}{10} = \frac{60}{10} = 6$

$\bar{y} = \frac{3+3+4+8+4+4+7+6+4+7}{10} = \frac{50}{10} = 5$

次に、各生徒の古文と漢文の点数について、$x_i - \bar{x}$ と $y_i - \bar{y}$、$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$、$(x_i - \bar{x})^2$、$(y_i - \bar{y})^2$ を計算します。

| 生徒番号 | 古文 ($x_i$) | 漢文 ($y_i$) | $x_i - \bar{x}$ | $y_i - \bar{y}$ | $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | $(y_i - \bar{y})^2$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| 1 | 4 | 3 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |

| 2 | 6 | 3 | 0 | -2 | 0 | 0 | 4 |

| 3 | 5 | 4 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| 4 | 7 | 8 | 1 | 3 | 3 | 1 | 9 |

| 5 | 5 | 4 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| 6 | 6 | 4 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 |

| 7 | 9 | 7 | 3 | 2 | 6 | 9 | 4 |

| 8 | 2 | 6 | -4 | 1 | -4 | 16 | 1 |

| 9 | 8 | 4 | 2 | -1 | -2 | 4 | 1 |

| 10 | 8 | 7 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 |

| 合計 | | | | | 13 | 40 | 30 |

$\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 13$

$\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 = 40$

$\sum_{i=1}^{10}(y_i - \bar{y})^2 = 30$

$r = \frac{13}{\sqrt{40} \sqrt{30}} = \frac{13}{\sqrt{1200}} = \frac{13}{\sqrt{400 \times 3}} = \frac{13}{20\sqrt{3}} = \frac{13}{20 \times 1.73} = \frac{13}{34.6} \approx 0.3757$

小数第3位を四捨五入すると、 $r \approx 0.38$

(2) 相関係数が0.38であることから、弱い正の相関関係があると考えられます。

3. 最終的な答え

(1) 0.37

(2) ①