問題は、2次関数 $y = -2x^2 + (4a-8)x + 8a - 8$ のグラフをGとするとき、以下の設問に答えるものです。 (1) グラフGの頂点の座標を求める。 (2) 関数 $y = -2x^2 + (4a-8)x + 8a - 8$ の、$0 \le x \le 2$における最小値をmとおく。$a$ の範囲によって $m$ を表し、$-48 < m < 48$を満たす $a$ の値の範囲を求める。 (3) グラフGと直線 $y = 14$ が接するときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は、2次関数 $y = -2x^2 + (4a-8)x + 8a - 8$ のグラフをGとするとき、以下の設問に答えるものです。

(1) グラフGの頂点の座標を求める。

(2) 関数 $y = -2x^2 + (4a-8)x + 8a - 8$ の、$0 \le x \le 2$における最小値をmとおく。$a$ の範囲によって $m$ を表し、$-48 < m < 48$を満たす $a$ の値の範囲を求める。

(3) グラフGと直線 $y = 14$ が接するときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフGの頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + (4a - 8)x + 8a - 8$

$y = -2[x^2 - (2a - 4)x] + 8a - 8$

$y = -2[x^2 - (2a - 4)x + (a - 2)^2 - (a - 2)^2] + 8a - 8$

$y = -2[(x - (a - 2))^2 - (a - 2)^2] + 8a - 8$

$y = -2(x - (a - 2))^2 + 2(a - 2)^2 + 8a - 8$

$y = -2(x - (a - 2))^2 + 2(a^2 - 4a + 4) + 8a - 8$

$y = -2(x - (a - 2))^2 + 2a^2 - 8a + 8 + 8a - 8$

$y = -2(x - (a - 2))^2 + 2a^2$

よって、グラフGの頂点の座標は $(a - 2, 2a^2)$ となります。

(2) 関数 $y$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を $m$ とおく。

頂点のx座標 $a - 2$ と区間 $0 \le x \le 2$ の関係によって場合分けします。

(i) $a - 2 < 0$ すなわち $a < 2$ のとき、最小値は $x = 2$ でとります。

$m = -2(2)^2 + (4a - 8)(2) + 8a - 8$

$m = -8 + 8a - 16 + 8a - 8$

$m = 16a - 32$

(ii) $0 \le a - 2 \le 2$ すなわち $2 \le a \le 4$ のとき、最小値は $x = 0$ でとります。

$m = -2(0)^2 + (4a - 8)(0) + 8a - 8$

$m = 8a - 8$

(iii) $a - 2 > 2$ すなわち $a > 4$ のとき、最小値は $x = 0$ でとります。

$m = -2(0)^2 + (4a - 8)(0) + 8a - 8$

$m = 8a - 8$

次に、$-48 < m < 48$を満たす$a$ の範囲を求めます。

(i) $a < 2$ のとき、$m = 16a - 32$ より、

$-48 < 16a - 32 < 48$

$-16 < 16a < 80$

$-1 < a < 5$

$a < 2$ より $-1 < a < 2$

(ii) $2 \le a \le 4$ のとき、$m = 8a - 8$ より、

$-48 < 8a - 8 < 48$

$-40 < 8a < 56$

$-5 < a < 7$

$2 \le a \le 4$ より $2 \le a \le 4$

(iii) $a > 4$ のとき、$m = 8a - 8$ より、

$-48 < 8a - 8 < 48$

$-40 < 8a < 56$

$-5 < a < 7$

$a > 4$ より $4 < a < 7$

したがって、$a$ の範囲は $-1 < a < 7$ となります。

(3) グラフGと直線 $y = 14$ が接するとき、2次方程式 $-2x^2 + (4a - 8)x + 8a - 8 = 14$ が重解を持つ必要があります。

$-2x^2 + (4a - 8)x + 8a - 22 = 0$

$2x^2 - (4a - 8)x - 8a + 22 = 0$

判別式 $D = 0$ より、

$D = (4a - 8)^2 - 4(2)(-8a + 22) = 0$

$16a^2 - 64a + 64 + 64a - 176 = 0$

$16a^2 - 112 = 0$

$a^2 = 7$

$a = \pm \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) グラフGの頂点の座標は $(a - 2, 2a^2)$

(2) $-1 < a < 7$

(3) $a = \pm \sqrt{7}$