以下の6つの問題を解きます。 (1) 一次方程式 $\frac{2x-2}{3} - \frac{2x+4}{5} = 2$ を解く。 (2) 二次方程式 $5x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。 (3) 傾きが -3 で、点 (1, -6) を通る直線の式を求める。 (4) 直線 $y = 4x - 2$ に平行で、点 (-4, 9) を通る直線の式を求める。 (5) 2点 (-2, 7), (4, -5) を通る直線の式を求める。 (6) 点 (-4, -2) を通り、直線 $y = -5x + 6$ と y 軸上で交わる直線の式を求める。

1. 問題の内容

以下の6つの問題を解きます。

(1) 一次方程式 $\frac{2x-2}{3} - \frac{2x+4}{5} = 2$ を解く。

(2) 二次方程式 $5x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

(3) 傾きが -3 で、点 (1, -6) を通る直線の式を求める。

(4) 直線 $y = 4x - 2$ に平行で、点 (-4, 9) を通る直線の式を求める。

(5) 2点 (-2, 7), (4, -5) を通る直線の式を求める。

(6) 点 (-4, -2) を通り、直線 $y = -5x + 6$ と y 軸上で交わる直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一次方程式 $\frac{2x-2}{3} - \frac{2x+4}{5} = 2$ を解く。

まず、両辺に 15 を掛けて分母を払います。

$5(2x - 2) - 3(2x + 4) = 30$

$10x - 10 - 6x - 12 = 30$

$4x - 22 = 30$

$4x = 52$

$x = 13$

(2) 二次方程式 $5x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。ここで、$a=5, b=-3, c=-1$ です。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-1)}}{2(5)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{10}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{10}$

(3) 傾きが -3 で、点 (1, -6) を通る直線の式を求める。

直線の式を $y = ax + b$ とします。傾きが -3 なので、$a = -3$ です。

$y = -3x + b$

点 (1, -6) を通るので、代入します。

$-6 = -3(1) + b$

$-6 = -3 + b$

$b = -3$

したがって、直線の式は $y = -3x - 3$ です。

(4) 直線 $y = 4x - 2$ に平行で、点 (-4, 9) を通る直線の式を求める。

平行な直線の傾きは等しいので、求める直線の傾きは 4 です。

$y = 4x + b$

点 (-4, 9) を通るので、代入します。

$9 = 4(-4) + b$

$9 = -16 + b$

$b = 25$

したがって、直線の式は $y = 4x + 25$ です。

(5) 2点 (-2, 7), (4, -5) を通る直線の式を求める。

傾き $a$ を計算します。

$a = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2$

$y = -2x + b$

点 (-2, 7) を通るので、代入します。

$7 = -2(-2) + b$

$7 = 4 + b$

$b = 3$

したがって、直線の式は $y = -2x + 3$ です。

(6) 点 (-4, -2) を通り、直線 $y = -5x + 6$ と y 軸上で交わる直線の式を求める。

直線 $y = -5x + 6$ と y 軸との交点は、x = 0 のときなので、$y = 6$。

つまり、点 (0, 6) を通ります。

求める直線は (-4, -2) と (0, 6) を通るので、傾きを計算します。

$a = \frac{6 - (-2)}{0 - (-4)} = \frac{8}{4} = 2$

$y = 2x + b$

点 (0, 6) を通るので、$b = 6$。

したがって、直線の式は $y = 2x + 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 13$

(2) $x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{10}$

(3) $y = -3x - 3$

(4) $y = 4x + 25$

(5) $y = -2x + 3$

(6) $y = 2x + 6$