2次と3次の2つの整式があり、それらの最大公約数は $2x-1$、最小公倍数は $2x^4+3x^3+2x^2+6x-4$ である。この2つの整式を求めよ。

1. 問題の内容

2次と3次の2つの整式があり、それらの最大公約数は $2x-1$、最小公倍数は $2x^4+3x^3+2x^2+6x-4$ である。この2つの整式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの整式を $A$ と $B$ とし、最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とすると、

$A \times B = G \times L$ の関係が成り立つ。

与えられた情報から、$G = 2x-1$、$L = 2x^4+3x^3+2x^2+6x-4$ である。

したがって、$A \times B = (2x-1)(2x^4+3x^3+2x^2+6x-4)$ が成り立つ。

まず、$L$ を $G$ で割ってみる。

$\frac{2x^4+3x^3+2x^2+6x-4}{2x-1} = x^3+2x^2+2x+4$

よって、$L = (2x-1)(x^3+2x^2+2x+4)$ となる。

したがって、$A \times B = (2x-1)^2(x^3+2x^2+2x+4)$ となる。

$x^3+2x^2+2x+4 = x^2(x+2) + 2(x+2) = (x^2+2)(x+2)$

したがって、$A \times B = (2x-1)^2(x+2)(x^2+2)$ となる。

最大公約数が $2x-1$ であることから、2つの整式は $2x-1$ を因数に持つ。

$A$ が2次式、$B$ が3次式であることから、

$A = (2x-1)(x+2) = 2x^2 + 3x - 2$

$B = (2x-1)(x^2+2) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

または、$A = (2x-1)(x^2+2) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$ ($A$ が3次式なので不適)

$B = (2x-1)(x+2) = 2x^2 + 3x - 2$ ($B$ が2次式なので不適)

したがって、$A = (2x-1)(x+2)$、$B = (2x-1)(x^2+2)$ となる。

$A = 2x^2 + 3x - 2$

$B = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

2つの整式は $2x^2 + 3x - 2$ と $2x^3 - x^2 + 4x - 2$ である。