大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出た目を$a$、小さいサイコロの出た目を$b$とします。 以下の各場合に確率を求めます。 1. $a + b \geq 9$となる確率

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出た目を$a$、小さいサイコロの出た目を$b$とします。

以下の各場合に確率を求めます。

1. $a + b \geq 9$となる確率

2. $\frac{a}{b}$が整数となる確率

3. $a \geq b$となる確率

4. $\sqrt{10a + b}$が整数となる確率

5. 点$(a, b)$が直線$y = -x + 5$上にある確率

2. 解き方の手順

すべての事象は$6 \times 6 = 36$通りです。

1. $a + b \geq 9$となる場合を数えます。

$(a, b) = (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$

よって10通りなので、確率は$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$です。

2. $\frac{a}{b}$が整数となる場合を数えます。

$a$は大きいサイコロなので、$a \geq b$です。

$b = 1$のとき、$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

$b = 2$のとき、$a = 2, 4, 6$

$b = 3$のとき、$a = 3, 6$

$b = 4$のとき、$a = 4$

$b = 5$のとき、$a = 5$

$b = 6$のとき、$a = 6$

よって、$6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14$通りなので、確率は$\frac{14}{36} = \frac{7}{18}$です。

3. $a \geq b$となる場合を数えます。

$a > b$の場合は、${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り

$a = b$の場合は、$a = b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り

合計で$15 + 6 = 21$通りなので、確率は$\frac{21}{36} = \frac{7}{12}$です。

もしくは、$a < b$となる場合を数えて、全体から引いても良い。$a < b$の場合は${}_6 C_2 = 15$通り。

よって$36 - 15 = 21$通り。

4. $\sqrt{10a + b}$が整数となる場合を数えます。

$10a + b$は最小で$10 \times 1 + 1 = 11$、最大で$10 \times 6 + 6 = 66$です。

$\sqrt{10a + b}$が整数になるのは、$10a + b$が平方数のときです。

$4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$

$10a + b = 16$となるのは$(a, b) = (1, 6)$

$10a + b = 25$となるのは$(a, b) = (2, 5)$

$10a + b = 36$となるのは$(a, b) = (3, 6)$

$10a + b = 49$となるのは$(a, b) = (4, 9)$となるが、$b \leq 6$より不適。

$10a + b = 64$となるのは$(a, b) = (6, 4)$

よって4通りなので、確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$です。

5. 点$(a, b)$が直線$y = -x + 5$上にある確率を求めます。

$b = -a + 5$を満たす$(a, b)$を数えます。

$(a, b) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$

よって4通りなので、確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$です。

3. 最終的な答え

1. $a + b \geq 9$となる確率：$\frac{5}{18}$

2. $\frac{a}{b}$が整数となる確率：$\frac{7}{18}$

3. $a \geq b$となる確率：$\frac{7}{12}$

4. $\sqrt{10a + b}$が整数となる確率：$\frac{1}{9}$

5. 点$(a, b)$が直線$y = -x + 5$上にある確率：$\frac{1}{9}$