袋の中に白玉5個、黒玉4個、赤玉3個、青玉2個が入っている。この袋の中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色がすべて同じである確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉5個、黒玉4個、赤玉3個、青玉2個が入っている。この袋の中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色がすべて同じである確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋の中に入っている玉の総数を求める。

$5 + 4 + 3 + 2 = 14$

次に、3個の玉を取り出す場合の総数を求める。これは14個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{14}C_3$ で計算できる。

$_{14}C_3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$

次に、3個の玉の色がすべて同じである場合を考える。

* 白玉3個の場合：$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 黒玉3個の場合：$_{4}C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$

* 赤玉3個の場合：$_{3}C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

* 青玉は2個しかないため、3個とも同じ色になることはない。

したがって、3個の玉の色がすべて同じである場合の数は、$10 + 4 + 1 = 15$

求める確率は、3個の玉の色がすべて同じである場合の数を、3個の玉を取り出す場合の総数で割ったものなので、$\frac{15}{364}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{364}$