整式 $x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったとき、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ であり、余りが $17$ である。このとき、整式 $P(x)$ を求める。

1. 問題の内容

整式 $x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったとき、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ であり、余りが $17$ である。このとき、整式 $P(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

割る式を $P(x)$、割られる式を $x^4 + 1$、商を $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$、余りを $17$ とすると、次の関係式が成り立つ。

$x^4 + 1 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17$

この式から $P(x)$ を求める。

まず、式を変形する。

$x^4 + 1 - 17 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$

$x^4 - 16 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$

したがって、

$P(x) = \frac{x^4 - 16}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}$

ここで、$x^4 - 16$ と $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ を因数分解する。

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x^2 + 4)(x - 2)$

したがって、

$P(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)(x - 2)}$

$P(x) = x + 2$

3. 最終的な答え

$P(x) = x + 2$