21. A班に6人、B班に4人、C班に5人の生徒がいる。次の問いに答えよ。 (1) A班から2人、B班から3人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。 (2) A班から3人、B班から2人、C班から2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

## 21.の問題

1. 問題の内容

2

1. A班に6人、B班に4人、C班に5人の生徒がいる。次の問いに答えよ。

(1) A班から2人、B班から3人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

(2) A班から3人、B班から2人、C班から2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) A班から2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_6C_2$通り。B班から3人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_4C_3$通り。それぞれの選び方は独立しているので、積の法則を用いて計算する。

$$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

$$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$$

よって、選び方は $15 \times 4$ 通り。

(2) A班から3人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_6C_3$通り。B班から2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_4C_2$通り。C班から2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_5C_2$通り。それぞれの選び方は独立しているので、積の法則を用いて計算する。

$$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

$$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$

$$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

よって、選び方は $20 \times 6 \times 10$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 1200通り

## 22.の問題

1. 問題の内容

2

2. 高校生4人、中学生6人の中から4人を選ぶとき、次の問いに答えよ。

(1) すべての選び方は何通りあるか。

(2) 高校生2人、中学生2人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

(3) 特定の2人AとBが含まれるとき、選び方は何通りあるか。

(4) 高校生が少なくとも1人含まれるとき、選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 高校生4人と中学生6人、合計10人の中から4人を選ぶので、組み合わせの公式を用いて$_{10}C_4$を計算する。

$$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$$

(2) 高校生2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_4C_2$通り。中学生2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて $_6C_2$通り。それぞれの選び方は独立しているので、積の法則を用いて計算する。

$$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$

$$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

よって、選び方は $6 \times 15$ 通り。

(3) 特定の2人AとBが含まれる場合を考える。AとBが高校生であるか、中学生であるか、または一人が高校生で一人が中学生であるかで場合分けする必要はない。なぜなら、問題文の前提で高校生と中学生を区別して考えているため、AとBが誰であるかという情報はすでに与えられていることになる。AとBの残りの2人は、残り8人（高校生2人、中学生6人）から選ぶことになるので、組み合わせの公式を用いて $_8C_2$を計算する。

$$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

(4) 高校生が少なくとも1人含まれる選び方は、全体の選び方から高校生が1人も含まれない選び方を引くことで求める。全体の選び方は(1)で求めた210通り。高校生が1人も含まれない選び方、つまり中学生から4人選ぶ方法は $_6C_4$通り。

$$_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

よって、選び方は $210 - 15$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 28通り

(4) 195通り