赤球4個、白球3個の合計7個の球が入った袋から、同時に2個の球を取り出す。取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求め、その値を $\frac{a}{7}$ と表すときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤球4個、白球3個の合計7個の球が入った袋から、同時に2個の球を取り出す。取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求め、その値を $\frac{a}{7}$ と表すときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

期待値を求めるためには、赤球が0個、1個、2個取り出される確率をそれぞれ計算する必要がある。

* **赤球が0個のとき:**

これは2個とも白球を取り出す場合である。確率は、

$\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{\frac{7 \times 6}{2}} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

* **赤球が1個のとき:**

これは赤球1個と白球1個を取り出す場合である。確率は、

$\frac{{}_4C_1 \times {}_3C_1}{{}_7C_2} = \frac{4 \times 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

* **赤球が2個のとき:**

これは2個とも赤球を取り出す場合である。確率は、

$\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2}}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

期待値は、それぞれの赤球の個数に確率をかけて足し合わせることで求められる。

$E = 0 \times \frac{1}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 2 \times \frac{2}{7} = 0 + \frac{4}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8}{7}$

したがって、赤球の個数の期待値は $\frac{8}{7}$ 個となる。問題文より、この期待値が$\frac{a}{7}$と表されるので、$a=8$となる。

3. 最終的な答え

8