次の和を求めます。 $\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k+1}} = \frac{{}_nC_0}{2} + \frac{{}_nC_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_nC_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_nC_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_nC_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k+1}} = \frac{{}_nC_0}{2} + \frac{{}_nC_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_nC_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_nC_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_nC_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

2. 解き方の手順

まず、二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k$ を考えます。

この両辺を積分すると、

$\int (1+x)^n dx = \int \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k dx$

$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} + C = \sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{x^{k+1}}{k+1}$

積分定数 $C$ を求めます。$x=0$ を代入すると、

$\frac{1}{n+1} + C = 0$

$C = -\frac{1}{n+1}$

よって、

$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{x^{k+1}}{k+1}$

$\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{n+1} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{x^{k+1}}{k+1}$

両辺を $x$ で割ると、

$\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x(n+1)} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{x^{k}}{k+1}$

ここで、$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\frac{(1+\frac{1}{2})^{n+1} - 1}{\frac{1}{2}(n+1)} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{(\frac{1}{2})^{k}}{k+1}$

$\frac{(\frac{3}{2})^{n+1} - 1}{\frac{1}{2}(n+1)} = \sum_{k=0}^n \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k}}$

$\frac{2}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1) = \sum_{k=0}^n \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k}}$

求める和は、

$\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k+1}} = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \frac{{}_nC_k}{(k+1)2^{k}}$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1)$

$=\frac{1}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1)$

$=\frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}$