与えられた式 $(2x+3y)^2(2x-3y)^2$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2x+3y)^2(2x-3y)^2$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2x+3y)^2$ と $(2x-3y)^2$ をそれぞれ展開します。

$(2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

$(2x-3y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

次に、これらの結果を元の式に代入し、積を計算します。

$(2x+3y)^2(2x-3y)^2 = (4x^2 + 12xy + 9y^2)(4x^2 - 12xy + 9y^2)$

ここで、この積を計算する前に、式の形に着目します。

$A = 4x^2 + 9y^2$ と $B = 12xy$ と置くと、上記の式は $(A+B)(A-B)$ と表すことができます。

これは、$A^2 - B^2$ となるので、

$(4x^2 + 9y^2 + 12xy)(4x^2 + 9y^2 - 12xy) = (4x^2 + 9y^2)^2 - (12xy)^2$

さらに展開します。

$(4x^2 + 9y^2)^2 = (4x^2)^2 + 2(4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = 16x^4 + 72x^2y^2 + 81y^4$

$(12xy)^2 = 144x^2y^2$

したがって、

$(4x^2 + 9y^2)^2 - (12xy)^2 = 16x^4 + 72x^2y^2 + 81y^4 - 144x^2y^2 = 16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$

別解として、$(2x+3y)(2x-3y) = 4x^2-9y^2$であることを利用します。

$(2x+3y)^2(2x-3y)^2 = [(2x+3y)(2x-3y)]^2 = (4x^2-9y^2)^2$

$(4x^2-9y^2)^2 = (4x^2)^2 - 2(4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = 16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$

3. 最終的な答え

$16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$