$x, y$ は実数、$n$ は自然数とする。次の命題を証明せよ。 (1) $n(n+2)$ が4の倍数ならば、$n$ は偶数である。 (2) $xy=1$ ならば、$x>0$ かつ $y>0$ (3) $x+y>5$ ならば、$x>3$ または $y>2$

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数、$n$ は自然数とする。次の命題を証明せよ。

(1) $n(n+2)$ が4の倍数ならば、$n$ は偶数である。

(2) $xy=1$ ならば、$x>0$ かつ $y>0$

(3) $x+y>5$ ならば、$x>3$ または $y>2$

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。

$n$ が奇数であると仮定する。このとき、$n = 2k-1$ ($k$は自然数) と表せる。

すると、

$n(n+2) = (2k-1)(2k-1+2) = (2k-1)(2k+1) = 4k^2-1 = 4(k^2) - 1$

これは4の倍数ではない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2) 背理法を適用する。

$xy = 1$ かつ ($x \le 0$ または $y \le 0$) と仮定する。

(i) $x \le 0$ の場合、$y = \frac{1}{x}$ なので、$y \le 0$ となる。したがって、$xy \ge 0$ となるはずだが、$xy=1 > 0$であることに矛盾する。

(ii) $y \le 0$ の場合、$x = \frac{1}{y}$ なので、$x \le 0$ となる。したがって、$xy \ge 0$ となるはずだが、$xy=1 > 0$であることに矛盾する。

したがって、背理法の仮定が誤りであり、$x>0$ かつ $y>0$ が成り立つ。

(3) 対偶を証明する。

$x \le 3$ かつ $y \le 2$ と仮定する。

このとき、$x+y \le 3+2 = 5$ となる。

したがって、$x+y \le 5$ が成り立つので、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) $n(n+2)$ が4の倍数ならば、$n$ は偶数である。（証明終わり）

(2) $xy=1$ ならば、$x>0$ かつ $y>0$ （証明終わり）

(3) $x+y>5$ ならば、$x>3$ または $y>2$ (証明終わり)