問題は、与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、さらに $a = 2\sqrt{13} - n$, $b = \frac{1}{a}$ で定義される実数 $a$, $b$ について、$b$ を簡単な形に変形し、$a^2 - 9b^2$ の値を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、さらに $a = 2\sqrt{13} - n$, $b = \frac{1}{a}$ で定義される実数 $a$, $b$ について、$b$ を簡単な形に変形し、$a^2 - 9b^2$ の値を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。

$\sqrt{13} \approx \sqrt{13.0} \approx 3.6$ なので、$2\sqrt{13} \approx 2 \times 3.6 = 7.2$ となる。したがって、不等式を満たす整数 $n$ は 7 である。ア =

7.

(2) $a = 2\sqrt{13} - n$ に $n=7$ を代入すると、

$a = 2\sqrt{13} - 7$.

(3) $b = \frac{1}{a}$ であるから、$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7}$ である。

$b$ の分母を有理化するために、分母・分子に $2\sqrt{13} + 7$ を掛ける。

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} - 7)(2\sqrt{13} + 7)} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13})^2 - 7^2} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{4 \times 13 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{52 - 49} = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$.

したがって、イ = 7, ウ =

3. よって、$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$.

(4) $a = 2\sqrt{13} - 7$ より、$a^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 = (2\sqrt{13})^2 - 2(2\sqrt{13})(7) + 7^2 = 52 - 28\sqrt{13} + 49 = 101 - 28\sqrt{13}$.

$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$ より、$b^2 = \left(\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}\right)^2 = \frac{(7 + 2\sqrt{13})^2}{9} = \frac{49 + 28\sqrt{13} + 52}{9} = \frac{101 + 28\sqrt{13}}{9}$.

したがって、$9b^2 = 101 + 28\sqrt{13}$.

$a^2 - 9b^2 = (101 - 28\sqrt{13}) - (101 + 28\sqrt{13}) = -56\sqrt{13}$.

3. 最終的な答え

ア = 7

イ = 7

ウ = 3

エオカ = -56

$a^2 - 9b^2 = -56\sqrt{13}$