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与えられた式 $2(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$ を展開し、簡略化せよ。

代数学多項式展開因数分解式の簡略化
2025/8/7

1. 問題の内容

与えられた式 2(x−3)(x+3)(x2+9)(x4+81)2(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81) を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、2(x−3)(x+3)(x2+9)(x4+81)2(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81) の (x−3)(x+3)(x-3)(x+3) の部分を計算します。
これは、a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) の公式を利用します。
(x−3)(x+3)=x2−32=x2−9(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 となります。
次に、(x2−9)(x2+9)(x^2 - 9)(x^2+9) を計算します。再び、a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) の公式を利用します。
(x2−9)(x2+9)=(x2)2−92=x4−81(x^2 - 9)(x^2+9) = (x^2)^2 - 9^2 = x^4 - 81 となります。
次に、(x4−81)(x4+81)(x^4 - 81)(x^4+81) を計算します。再び、a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) の公式を利用します。
(x4−81)(x4+81)=(x4)2−812=x8−6561(x^4 - 81)(x^4+81) = (x^4)^2 - 81^2 = x^8 - 6561 となります。
最後に、 2(x8−6561)2(x^8 - 6561) を計算します。
2(x8−6561)=2x8−131222(x^8 - 6561) = 2x^8 - 13122 となります。

3. 最終的な答え

2x8−131222x^8 - 13122

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